《场论与复变函数》课程教学资源（知识扩展）一级极点的留数与柯西积分公式

一级极点的留数与柯西积分公式 若函数f:)在。点不解析，并且在。点的去心邻域内展开的洛朗级数中，只有 c(2-o)一项负幂项，而其它c。=0,(n=2,3,4）即有 fe)=C(-5)+c+G(-)+c(-尸+. 则称。为()的一级极点。 由于 f()=c(-5)+co+c(e-)+c(e-5)2+. =(e-5).(c+c(e-)+c(e-)》2+c,(e-)2+. (1) =) (e-0) 其中， p()=c1+c(2-)+G(2-)}+C2(2-5)3+. (2) 。点的邻域内是解析函数，并且(：)=c1≠0。 由一级极点的留数计算规则， Res[f(=).]=lim((=)f(=))=lim ()=( (3) 因此，若闭曲线C仅含有。一个奇点，则由留数定理知道，函数f()在C上的积分为 Φf(e)dt=2πi.Res[fe),zo]=2πi·gp(o) (4) 若考虑柯西积分公式，则 1A() (-26)1 =2πip(o) (5) 即∮f(e)d-2mio()。 上面两种思路得到相同的结果 并且，可以看出函数 、(其中(：)是解析函数)在点的留数 （2-20 Rsg号a (6)

一级极点的留数与柯西积分公式 若函数 f ( )z 在 0 z 点不解析，并且在 0 z 点的去心邻域内展开的洛朗级数中，只有 1 1 0 c zz ( )− − − 一项负幂项，而其它 0,( 2,3, 4, ) n c n − = = " 即有 1 2 1 0 01 0 2 0 fz c z z c cz z c z z () ( ) ( ) ( ) − = − ++ − + − + − " 则称 0 z 为 f ( )z 的一级极点。 由于 ( ) 1 2 1 0 01 0 2 0 1 23 0 10 0 1 0 2 0 0 () ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) fz c z z c cz z c z z z z c c z z cz z c z z z z z ϕ − − − − = − ++ − + − + =− ⋅ + − + − + − + = − " " （1） 其中， 2 3 10 0 1 0 2 0 ϕ() ( ) ( ) ( ) z c c z z cz z c z z =+ −+ − + − + − " （2） 0 z 点的邻域内是解析函数，并且 0 1 ϕ() 0 z c = − ≠ 。 由一级极点的留数计算规则， ( ) 0 0 Res[ ( ), ] lim ( ) ( ) lim ( ) ( ) 00 0 zz zz f z z z z fz z z ϕ ϕ → → =− = = （3） 因此，若闭曲线C 仅含有 0 z 一个奇点，则由留数定理知道，函数 f ( )z 在C 上的积分为 0 0 ( ) 2 Res[ ( ), ] 2 ( ) C f z dz i f z z i z =⋅ =⋅ π πϕ v∫ （4） 若考虑柯西积分公式，则 0 0 0 0 1 () () () 2 () 2( ) ( ) C C z z z dz dz i z i zz zz ϕ ϕ ϕ πϕ π = ⇒ =⋅ − − v v ∫ ∫ （5） 即 0 () 2 ( ) C f z dz i z = ⋅ π ϕ v∫ 。 上面两种思路得到相同的结果。 并且，可以看出函数 0 ( ) ( ) z z z ϕ − （其中ϕ( )z 是解析函数） 在 0 z 点的留数 0 0 0 ( ) Res[ , ] ( ) ( ) z z z z z ϕ = ϕ − （6）