《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 4.3 协方差和相关系数

第三节 依方差和相关象数 如果两个随机变量是相互独立，则有 E{LX-(EX)][Y-E(Y)]}=0 如果两个随机变量是不相互独立，则有 E[X-(EX)[Y-E(Y)]}≠0 这说明它们存在一定的相关关系. 问题：如何描述两个随机变量之间相互关系。 2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第三节 协方差和相关系数 如果两个随机变量是相互独立，则有 E X EX Y E Y [ ( )][ ( )] 0 − − = 如果两个随机变量是不相互独立，则有 E X EX Y E Y [ ( )][ ( )] 0 − −  这说明它们存在一定的相关关系． 问题：如何描述两个随机变量之间相互关系

一、协方差的定义及计算公式 定义：随机变量X和Y的协方差Cov(X,)定义为 Cov(X,Y)=E[X-(EX)]Y-E(Y)] 当DX),D(>0时， Cov(X,Y) PW=DD西 称为随机变量X和Y的相关系数。 2024年8月27日星期二 2 目录○ (上页下页 返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 一 、协方差的定义及计算公式 定义：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y)定义为 Cov X Y E X EX Y E Y ( , ) [ ( )][ ( )] = − −   当D(X), D(Y)>0 时， ( , ) ( ) ( ) XY Cov X Y D X D Y  =  称为随机变量X和Y的相关系数

计算公式： Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 证明：Cov(X,Y)=E{X-(EX)I[Y-E(Y] =EXY-XE(Y)-YE(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(XE(Y) 2024年8月27日星期二 3 目录上页下页○ 返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 计算公式： Cov(X,Y)=E(XY)―E(X) E(Y) 证明： Cov X Y E X EX Y E Y ( , ) [ ( )][ ( )] = − −   = − − + E XY XE Y YE X E X E Y  ( ) ( ) ( ) ( ) = − − + E XY E X E Y E Y E X E X E Y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = − E XY E X E Y ( ) ( ) ( )

性质： 1.Cov(Y,Y)=Cov(Y,X) 2.Cov(X,X)=D(X) 3.D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) 4.Cov(ax,bY)=abCov(X,Y) 5.Cov(X+X2,Y)=Cov(Xj,Y)+Cov(X2,Y) 6.若随机变量X和Y相互独立，则协方差为零。 但逆命题不成立，即协方差为零，X和Y不一定相互独立。 2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 性质： 1. Cov X Y Cov Y X ( , ) ( , ) = 2. Cov X X D X ( , ) ( ) = 3. D X Y D X D Y Cov X Y ( ) ( ) ( ) 2 ( , ) + = + + 4. Cov aX bY abCov X Y ( , ) ( , ) = 5. 1 2 1 2 Cov X X Y Cov X Y Cov X Y ( , ) ( , ) ( , ) + = + 6. 若随机变量X和Y相互独立，则协方差为零。 但逆命题不成立，即协方差为零，X和Y不一定相互独立

例：设和Y的联合分布律为 解：由于 -1 0 PY=j) +1.}-0 1 2 E(X)=(-)5+0 3 3 0 3 3 3 且 E(XY=0 1 1 0 0 所以 3 3 Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y 1 11 P{X=议 33 =0 3 但是，X和Y不相互独立 求：Cov(X,Y) 2024年8月27日星期二 5 目录○ 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 X Y 1 0 1 { } 1 1 2 0 0 3 3 3 1 1 1 0 0 3 3 1 1 1 { } 3 3 3 P Y j P X i − = = 例：设X和Y的联合分布律为 求：Cov(X,Y). 解：由于 ( ) 1 1 1 ( ) 1 0 1 0 3 3 3 E X = −  +  +  = 且 E XY ( ) 0 = 所以 Cov X Y E XY E X E Y ( , ) ( ) ( ) ( ) = − = 0 但是，X和Y不相互独立

三、相关条数的性质 1.lP≤1 2.P=1的充分必要条件是存在a,b,使得 P(Y=aX+bj=1 证明：1. 0sD(XD)2Cov(X.Y2+15 0102 0102 0≤D( X_Y)=D()D()_2Cor(X.) 12 0102 综上，P≤1 2024年8月27日星期二 6 目录○ 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 1. 1  XY  2. 1  XY = 的充分必要条件是存在a ， b，使得 P Y aX b  = + = 1 证明：1. 1 2 0 ( ) X Y D    + 2 2 1 2 1 2 D X D Y Cov X Y ( ) ( ) 2 ( , )     = + + 2(1 ) = +  XY 1 2 0 ( ) X Y D    − 2 2 1 2 1 2 D X D Y Cov X Y ( ) ( ) 2 ( , )     = + − 2(1 ) = −  XY 1  −   XY 1    XY 综上， 1  XY  二、相关系数的性质

证明：2.（必要性）若P=1,则有 DX_Y)=0 0102 这意味着 X_Y 以概率1取值为一个常数， 0102 即意味着Y-aX+b,其中a- 若Pm=1,则有DX+X)=0 这意味着X+’ 以概率1取值为一个常数， 0102 即忘味若y-ob,其巾a及 2024年8月27日星期二 7 目录○ 上页> 下页 、返回

2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 证明：2.(必要性) 若  XY =1 ，则有 1 2 ( ) 0 X Y D   − = 这意味着 以概率1取值为一个常数， 1 2 X Y   − 即意味着Y=aX+b，其中 . 2 1 a   = 若  XY =1 ，则有 1 2 ( ) 0 X Y D   + = 这意味着 以概率1取值为一个常数， 1 2 X Y   + 即意味着Y=aX+b，其中 . 2 1 a   = −

证明：2.（充分性）若P{Y=aX+b}=1,则有 Cov(X,Y)=Cov(Y,ax+b)=Cov(X,ax)+Cov(X,b)=aD(X) 又D(Y)=a2D(X) 因此 -{d Cov(X,Y) =6 a>0, 性质2说明：当Pw=1时，X和Y以概率1存在线性关系。 特别地，当P=1时，称为正相关关系。当P=-1时， 称为负相关关系。当P较大时，线性相关程度较强。 当Px较小时，线性相关程度较弱。当Pw=0时，不相关。 2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 证明：2.(充分性) 若 P Y aX b  = + = 1 ，则有 Cov X Y Cov X aX b Cov X aX Cov X b aD X ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) = + = + = 又 2 D Y a D X ( ) ( ) = 因此 ( , ) ( ) 1, 0, ( ) ( ) ( ) 1, 0. XY Cov X Y aD X a D X D Y a D X a    = = =    −  性质2说明：当  XY =1 时，X和Y以概率1存在线性关系。 特别地，当  XY =1 时， 称为正相关关系。当  XY = −1 时， 称为负相关关系。当  XY 较大时，线性相关程度较强。 当  XY 较小时，线性相关程度较弱。当  XY = 0 时，不相关

例：设(X,的概率密度为 1-4-2p-40-40- (-0<x<+o0,-0<y<+0) 求P. 解：由前面的知识，可以知道D(X)=o,DY)=σ Cov(X.Y)=(x-mXy-1)f(x.y)dxdy 1 1-4-2p-420-42+少- G=hw-2za62。 dydx 2024年8月27日星期二 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 例：设 (X, Y)的概率密度为 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 , 2 1 x x y y f x y e              −   − − − −   − + −     = − (−   + −   + x y , ) 求  XY . 解: 由前面的知识，可以知道 2 2 1 2 D X D Y ( ) , ( ) = =   1 2 Cov X Y x y f x y x y ( , ) ( )( ) ( , )d d   + + − − = − −   2 2 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2(1 ) 1 2 2 1 2 1 ( )( ) e d d 2π 1 x x y y x y y x                  − − − − − − +   + + −     − − = − − −  

1(2-p4y-x-4 =(x-40y-4), e21-p2)2 01 2i dydx 2o,02V1-p 令1= t2+u2 coX,=2元J(aovl-pu+poaegddu eaid 2元 =P002.√2元√2元=p0,02因此 2元 Cov(X,Y) PwD-D西 po02=p 002 2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) 2(1 ) 2 1 2 2 1 2 1 ( )( ) e d d 2π 1 y x x x y y x              − − − − − − + + − − − = − − −   2 1 1 2 2 1 1 1 ( ), 1 y x x t u         − − − = − = − 令 ，则有 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 ( , ) ( 1 )e d d 2π t u Cov X Y tu u t u      + + + − − − = − +   2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 e d e d e d e d 2π 2π u t u t u u t u u t t   + − + − + − + −    − − − − − = +     1 2 1 2 2π 2π 2π   =   =   因此 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( ) XY Cov X Y D X D Y       = = = 