《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 随机变量及其分布（习题课）

随机变量 定义：设随机试验的样本空间为2={o以.如果对于每 个样本点0∈2，有唯一的实数X(o)与之相对应，则 称X=X(⊙)为样本空间2上的随机变量。 注：1.随机变量的取值随试验结果而定 2.随机变量所有可能取值是事先知道的 3集合到实数的映射 2024年8月27日星期二 目录○ 、上页 下页 、返回

2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 随机变量 定义：设随机试验的样本空间为  = ．如果对于每 个样本点  ，有唯一的实数 X () 与之相对应，则 称 X X = () 为样本空间  上的随机变量。 注：1.随机变量的取值随试验结果而定 2.随机变量所有可能取值是事先知道的 3.集合到实数的映射

定义：若随机变量X的所有可能取值为x,(=1,2,.)而X 取值为x对应的概率为p,即P{X=x}=p,i=1,2, 或 X 12 P 称为离散型随机变量X的分布律或分布列或概率分布。 分布律具有以下重要性质： (1)0≤p,≤1，i=1,2,3, (2)∑p,=1 即不满足这两条性质，就不能称为随机变量的分布律。 2024年8月27日星期二 2 目录今上页下页返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 1 2 1 2 . . . . i i X x x x P p p p 定义：若随机变量X的所有可能取值为xi (i=1,2,.) 而X 取值为xi对应的概率为pi ，即  = = =  , 1,2,. P X x p i i i 或 称为离散型随机变量X的分布律或分布列或概率分布。 分布律具有以下重要性质： (1 0 1, 1,2,3,. ) i   = p i ( ) 1 2 1 i i p  =  = 即不满足这两条性质，就不能称为随机变量的分布律

P471-6 2024年8月27日星期二 3 目录上页下页○返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 P47 1-6

几种常见的离散型分布 1、两点分布 定义：若随机变量X的分布律为 X 0 P 1-p p 则称X服从参数为p(0（下页 、返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 几种常见的离散型分布 1、两点分布 定义：若随机变量X的分布律为 X 0 1 P 1-p p 则称X服从参数为p(0<p<1) 的两点分布，或0-1分布

2、二项分布 定义：若随机变量的分布律为 P{X=k}=Cp(1-p)"-kk=0,1,2.n 则称X服从参数为n,p(0<p<I)的二项分布，也称伯努利 分布。记为X一B(n,p) 洧松定理： Cip'(1-py e λ=np 2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 2、二项分布 定义：若随机变量X的分布律为 { } (1 ) 0,1,2., . − = = − = k k n k P X p n k p C k n 则称X服从参数为n， p(0<p<1) 的二项分布，也称伯努利 分布。记为 X～B( n, p) −  − −  e k C p p k k k n k n ! (1 )  = np 泊松定理：

3、泊松分布 定义：若随机变量X的分布律为 P1x=k-2ek=0.12 k! 则称X服从参数为的泊松分布。记为X~P(?): 背景：泊松分布主要用于估计某事件在特定时间或空间中发 生的次数 2024年8月27日星期二 6 目录○ 上页 下页 、返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 3、泊松分布 定义：若随机变量X的分布律为   e , 0,1,2, ! k P X k k k  − = = = 则称X服从参数为λ 的泊松分布。记为X～P(λ ). 背景：泊松分布主要用于估计某事件在特定时间或空间中发 生的次数

4、几何分布 定义：若随机变量的分布律为 P{X=k}=qp,k=1,2,.(q=1-p) 则称X服从几何分布。记为X~G(p). 注：重复进行一个每次成功概率为的独立试验，若 前k-1次失败，第k次成功，其概率即为qp 背景：放回抽样。 2024年8月27日星期二 7 、目录> (上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 4、几何分布 定义：若随机变量X的分布律为   1 , 1,2, .( 1 ) − = = = = − k P X k q p k q p 则称X服从几何分布。记为X～G(p ). 注：重复进行一个每次成功概率为p的独立试验，若 前k-1次失败，第k次成功，其概率即为 k−1 q p 背景：放回抽样

P477-9 2024年8月27日星期二 8 目录今（上页>下页返回

2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 P47 7-9

分布函数的定义及性质 定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F(x)=P(X≤x) 称为随机变量X的分布函数。 从而 P(x1<X≤x2)=P(X≤x2)-P(X≤x)=F(x2)-F(x) 也就是说，可以通过分布函数，计算随机变量落在任意 一个区间的概率。 2024年8月27日星期二 目录 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 定义：设X是一个随机变量，x是任意实数，函数 F x P X x ( ) ( ) =  称为随机变量X的分布函数。 从而 1 2 2 1 P x X x P X x P X x ( ) ( ) ( )   =  −  2 1 = − F x F x ( ) ( ) 也就是说，可以通过分布函数，计算随机变量落在任意 一个区间的概率。 分布函数的定义及性质

分布函数的性质： (1)(单调性)对于任意实数x,x2,(x1<x2),有 F(x)≤F(x2) (2)(有界性)0≤F(x)≤1，limF(x)=0,limF(x)=1 00 F(-oo)=P{X≤-o}不可能事件 F(+∞)=P{X≤+o}必然事件 (3)(右连续性)limF(x)=F(x) x→xd 2024年8月27日星期二 10 目录今 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 分布函数的性质: (1)(单调性) 对于任意实数 x x x x 1 2 1 2 , ,( )  ，有 1 2 F x F x ( ) ( )  (2)(有界性) 0 ( ) 1, lim ( ) 0, lim ( ) 1 →− →+   = = x x F x F x F x (3)(右连续性) 0 0 lim ( ) ( ) x x F x F x → + = F P X ( ) { } − =  − 不可能事件 F P X ( ) { } + =  + 必然事件