《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 随机变量及其分布 2.2 离散型随机变量及其分布

第二节高散型随机变量及其分市 >离散型随机变量 随机变量的所有取值是有限个或可列个 >非离散型随机变量 随机变量的取值有无穷多个，且不可列 2024年8月27日星期二 1 目录 上页>下页○ 返回

2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第二节 离散型随机变量及其分布 ➢离散型随机变量 随机变量的所有取值是有限个或可列个 ➢非离散型随机变量 随机变量的取值有无穷多个，且不可列

定义：若随机变量X的所有可能取值为x(=1,2,.)而X 取值为x对应的概率为p,即P{X=x}=p,i=1,2,. 或 X 1x2 .X P P2.Pi 称为离散型随机变量X的分布律或分布列或概率分布。 分布律具有以下重要性质： (1)0≤p,≤1，i=1,2,3, (2)∑p,=1 即不满足这两条性质，就不能称为随机变量的分布律。 2024年8月27日星期二 2 目录○ 上页> 下页 、返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 1 2 1 2 . . . . i i X x x x P p p p 定义：若随机变量X的所有可能取值为xi (i=1,2,.) 而X 取值为xi对应的概率为pi ，即  = = =  , 1,2,. P X x p i i i 或 称为离散型随机变量X的分布律或分布列或概率分布。 分布律具有以下重要性质： (1 0 1, 1,2,3,. ) i   = p i ( ) 1 2 1 i i p  =  = 即不满足这两条性质，就不能称为随机变量的分布律

离散型随机变量的分布律也可表示为 X~ P P2 2024年8月27日星期二 3 目录○ 上页下页○ 返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 离散型随机变量的分布律也可表示为           n n p p p x x x X 1 2 1 2 ~

例：设随机变量的分布律为：P(X-)-0k-1,2.10 试求常数a. 解：由性质(2)，有 P{X=1+P{X=2+.+P{X=10}=1 即 所以 a=1 2024年8月27日星期二 4 目录○ (上页下页返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 例：设随机变量的分布律为： ( ) , 1,2, 10. 10 = = = a P X k k 试求常数 a. 解：由性质（2），有 PX = 1+ PX = 2++ PX = 10 = 1 即 10 1 10 10 10 10 + + =  = a a a a a =1 所以

例：一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯 的路口，每个信号灯为绿或红与其它信号灯为绿或红 相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等.以X表示 该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求X的分布律 及概率P1≤X≤2}。 解：由题意可知，X所有可能取值为0,1,2,3.设 A表示“汽车在第个路口遇到红灯”(i=1,2,3) 则4,4,4相互独立，且P(4)=P4)=2 所以1 K-0-4-= P{X=1}=P(A4)=P(A)P(A)=1 2024年8月27日星期二 目录上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 例：一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿灯 的路口，每个信号灯为绿或红与其它信号灯为绿或红 相互独立，且红绿两种信号显示的时间相等．以X表示 该汽车首次遇到红灯前已通过的路口数，求X的分布律 及概率 P X 1 2    。 解：由题意可知， X所有可能取值为0,1,2,3. ( 1,2,3) A i i i 表示“汽车在第 个路口遇到红灯” = 设 1 2 3 1 ( ) ( ) 2 则A A A P A P A ， ， 相互独立，且 i i = = 所以 P X{ 0} = 1 = P A( ) P X{ 1} = = 1 2 P A A ( ) = 1 2 P A P A ( ) ( ) 1 2 = 1 4 =

P(X=2=P(A4A)=P(A)P(4)P(4)= 8 P(X=3=P(444)=P(A)P(a,)P(4)= 8 故X的分布律为 X1 0123 88 于是 PI≤X≤2-P(X-1+P(X-28 2024年8月27日星期二 6 目录○ 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 P X{ 2} = 1 2 3 = P A A A ( ) 1 2 3 = P A P A P A ( ) ( ) ( ) 1 8 = P X{ 3} = 1 2 3 = P A A A ( ) 1 2 3 = P A P A P A ( ) ( ) ( ) 1 8 = 故X的分布律为 0 1 2 3 1 1 1 1 2 4 8 8 X P 于是 P X 1 2   = = + = P X P X  1 2    3 8 =

几种常见的离散型分布 一、两点分布 定义：若随机变量X的分布律为 X 0 1 P 1p p 则称x服从参数为p(0下页 返回

2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 几种常见的离散型分布 一、两点分布 定义：若随机变量X的分布律为 X 0 1 P 1-p p 则称X服从参数为p(0<p<1) 的两点分布，或0-1分布。 背景：当样本空间只有两个样本点时，可以用两点 分布来 描述

实例“抛硬币”试验，观察正、反两面情况， 当0=正面， 当0=反面， 随机变量X服从(0一1)分布， 其分布律为 X 0 2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 实例 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况. 随机变量 X 服从 (0—1) 分布. 1, X = X()    = 0, 当 =正面, 当 = 反面. X pk 0 1 2 1 2 其分布律为 1

实例200件产品中，有190件合格品，10件不合格 品，现从中随机抽取一件，那末，若规定 X=,取得不合格品， 0,取得合格品. x 0 1 190 10 200 200 则随机变量X服从(0一1)分布 2024年8月27日星期二 9 目录○ 长上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 实例 200件产品中,有190件合格品,10件不合格 品,现从中随机抽取一件,那末,若规定    = 0, 1, X 取得不合格品, 取得合格品. 则随机变量 X 服从(0 —1)分布. X k p 0 1 200 190 200 10

c/e 说明 两点分布是最简单的一种分布，任何一个只有 两种可能结果的随机现象，比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等，都属于两点 分布. 2024年8月27日星期二 10 目录○ 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布. 说明