《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第五章 大数定律及中心极限定理（习题课）

概華论与款醒硫外 第五章大数定律及中心极限定理 习题课 一、重点与难点 二、主要内容 三、典型例题

第五章 大数定律及中心极限定理 习 题 课 二、主要内容 三、典型例题 一、重点与难点

概车纶与款理统外 一、重点与难点 1.重点 中心极限定理及其运用. 2.难点 证明随机变量服从大数定律

一、重点与难点 1.重点 中心极限定理及其运用. 2.难点 证明随机变量服从大数定律

概華论与款醒统外 二、主要内容 大数定律 中极限定理 定 定理二 理 理 定理二 定理三 定理一的另一种表示

大数定律 二、主要内容 中心极限定理 定 理 一 定 理 二 定 理 三 定理一的另一种表示 定 理 一 定 理 二 定 理 三

概车纶与款理统外 契比雪夫定理的特殊情况 设随机变量X1,X2,.,Xm,.相互独立， 且具有相同的数学期和方差：E(X)=4, D(X)=o2(k=1,2,),作前n个随机变量 的算术平均X=之X, 则对于任意正 数ε有 mPX-K因-恤P空x-4<-l

契比雪夫定理的特殊情况 数 有 的算术平均 则对于任意正 作 前 个随机变量 且具有相同的数学期望和方差： 设随机变量 相互独立    , 1 ( ) ( 1, 2, ), ( ) , , , , , , 1 2 1 2 = = = = = n k k k k n X n X D X k n E X X X X    1. 1 lim {| | } lim 1 =       −  =  −  = → →     n k k n n X n P X P

概華论与款醒硫外 定理一的另一种表示 设随机变量X1,X2,Xm,.相互独立， 且具有相同的数学期和方差：E(Xk)=4, D(X)=。2k=1,2,则序列X=∑X 依概率收敛于4，即XP→4

定理一的另一种表示 , . 1 ( ) ( 1, 2, ), ( ) , , , , , , 1 2 1 2     ⎯→ = = = = = P n k k k k n X X n D X k X E X X X X 依概率收敛于 即 则序列 且具有相同的数学期望和方差： 设随机变量 相互独立   

概车纶与款理统外 伯努利大数定理 设n4是n次独立重复试验中事件A发生 的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率， 则对于任意正数ε>0，有 四P份-n<1政m:-小0

伯努利大数定理 则对于任意正数 有 的次数 是事件 在每次试验中发生的概率 设 是 次独立重复试验中事件 发 生 0, , ,   p A nA n A lim 1 lim = 0.       = −        −  → →  p  n n p P n n P A n A n 或

概華伦与款程统外 辛钦定理 设随机变量X1,X2,Xm,.相互独立， 服从同一分布，且具有数学期望E(Xk)=4 (k=1,2,.),则对于任意正数8，有 四2-小-

辛钦定理 ( 1,2, ), , ( ) , , , , , 1 2    = = k E X X X X k n 服从同一分布 且具有数学期望  设随机变量 相互独立 则对于任意正数 , 有 1. 1 lim 1 =        −  = →   n k k n X n P

概车纶与款理统外 独立同分布的中心极限定理 设随机变量X1,X2,.,Xm,.相互独立，服从 同一分布，且具有数学期望和方差：E(X)=4, D(X)=o2>0(k=1,2,),则随机变量之和的 标准化变量Yn= -2 k= x

独立同分布的中心极限定理 则随机变量之和的 同一分布 且具有数学期望和方差： 设随机变量 相互独立 服 从 ( ) 0 ( 1,2, ), , ( ) , , , , , , 2 1 2    =  = = D X k E X X X X k k n   . 1 1 1             − =    = = = n k k n k k n k k n D X X E X 标准化变量Y

概華伦与款程统外 的分布函数Fn(x)对于任意x满足 x,- lim F(x)=limp每 ≤x 1-→00 1-→o -=e

的分布函数Fn (x)对于任意x满足 − − = = x t e dt (x). 2π 1 2 2                 − = = → → x n X n F x P n k k n n n   1 lim ( ) lim

概车纶与款理统外 李雅普诺夫定理 设随机变量X1,X2,Xm,.相互独立它 们具有数学期望和方差： E(Xk)=4k,D(X)=O2≠0(k=1,2, 记 B=∑o, k=1 若存在正数6，使得当n→o时， 安2A

李雅普诺夫定理 {| | } 0, 1 , , , ( ) , ( ) 0 ( 1,2, ), , , , , , 1 2 2 1 2 2 2 1 2 − → →  = = =  =   = + + = n k k k n n k n k k k k k n E X B n B E X D X k X X X        若存在正数 使得当 时 记 们具有数学期望和方差： 设随机变量 相互独立 它   