《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第五章 大数定律及中心极限定理 第一节 大数定律

概车纶与款理统外 第一节 大数定律 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结

第一节 大数定律 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结

概華论与款程统外 一、问题的引入 实例频率的稳定性 随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数 ,单击图形播放/暂停ESC键退出 投币试验试验次数 200 正面 反面 启示：从实践 中人们发现 大量测量值 的算术平均 频率 0.51 频率 0.49 值有稳定性

一、问题的引入 实例 频率的稳定性 随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳 定于某个常数. 启示:从实践 中人们发现 大量测量值 的算术平均 值有稳定性. 单击图形播放/暂停 ESC键退出

概车纶与款理统外 二、基本定理 定理一（契比雪夫定理的特殊情况) 契比雪夫 设随机变量X1,X2,.,X,.相互独立 且具有相同的数学期和方差：E(Xk)=4, D(Xk)=o2(k=1,2,),作前n个随机变量 的算术平均X=之X,则对于任意正 n k= 数ε有 lim P(X-uK&)=lim 10o -→0 空-水-

二、基本定理 定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 数 有 的算术平均 则对于任意正 作 前 个随机变量 且具有相同的数学期望和方差： 设随机变量 相互独立    , 1 ( ) ( 1, 2, ), ( ) , , , , , , 1 2 1 2 = = = = = n k k k k n X n X D X k n E X X X X    契比雪夫 1. 1 lim {| | } lim 1 =       −  =  −  = → →     n k k n n X n P X P

概率伦与款理统外 二、基本定理 定到 表达式的意义 X-4K是一个随机事件等式表 且 明，当n→oo时这个事件的概率趋于， D( 即对于任意正数&，当n充分大时，不 的身 等式|X-4Ke成立的概率很大 数ε有

定理一（契比雪夫定理的特殊情况） 数 有 的算术平均 则对于任意正 作 前 个随机变量 且具有相同的数学期望和方差： 设随机变量 相互独立    , 1 ( ) ( 1, 2, ), ( ) , , , , , , 1 2 1 2 = = = = = n k k k k n X n X D X k n E X X X X    1. 1 lim {| | } lim 1 =       −  =  −  = → →     n k k n n X n P X P 表达式的意义 | | . , , , 1, {| | } , 等 式 成立的概率很大 即对于任意正数 当 充分大时 不 明 当 时这个事件的概率趋于 是一个随机事件 等式表      −  →  −  X n n X 二、基本定理

概车纶与款理统外 证明1 2x]-2Aw=4 客]-2w- 由契比雪夫不等式可得 a-a小1- 在上式中令n→oo,并注意到概率不能大于1，则 PtnEx.-n<ej-1

证明 ( ) 1 1 1 1   = = =      n k k n k k E X n X n E , 1 =  n =  n ( ) 1 1 1 2 1   = = =      n k k n k k D X n X n D , 1 2 2 2 n n n  =   = 由契比雪夫不等式可得 1 , 1 2 2 1 n X n P n k k      −        −  = 在上式中令n → ， 并注意到概率不能大于1, 则 1. 1 1 =        −  =   n k Xk n P

概華论与款程统外 关于定理一的说明： 当n很大时，随机变量X1,X2,Xn的算术平 均}∑x接近于数学期望 nk=1 E(X)=E(X2)=.=E(Xk)=4, (这个接近是概率意义下的接近) 即在定理条件下，n个随机变量的算术平均，当n 无限增加时，几乎变成一个常数

关于定理一的说明: ( ) ( ) ( ) , 1 , , , , 1 2 1 1 2 = = = =  = k n k k n E X E X E X X n n X X X   均 接近于数学期望 当 很大时 随机变量 的算术平 （这个接近是概率意义下的接近） 即在定理条件下, n个随机变量的算术平均, 当n 无限增加时, 几乎变成一个常数

概车纶与款理统外 定理一的另一种叙述： 设随机变量X1,X 且具有相同的数学期 设Y,上2，.，Yn是一个随 机变量序列是一个常 D(X)=o2(k=1,2, 数，若对于任意正数8 依概率收敛于，肌 有lim P(Y-aK}=1, 则称序列Y1,Y2,.,Y 依概率收敛于，记为

, . 1 ( ) ( 1, 2, ), ( ) , , , , , , 1 2 1 2     ⎯→ = = = = = P n k k k k n X X n D X k X E X X X X 依概率收敛于 即 则序列 且具有相同的数学期望和方差： 设随机变量 相互独立    Y a a Y Y Y P Y a a Y Y Y P n n n n n ⎯→ −  = → 依概率收敛于 记 为 则称序列 有 数 若对于任意正数 机变量序列 是一个常 设 是一个随 , , , , lim {| | } 1, , , , , , 1 2 1 2     定理一的另一种叙述:

概華论与款醒硫外 依概率收敛序列的性质： 设XnP→a,ynP→b, 又设函数g(x,y)在点(a,b)连续， 则g(Xn,Yn)P→g(a,b). 证明因为g(x,y)在(a,b)连续， Vε>0,36>0， 使得当x-d+y-b<6时， g(x,y)-g(a,b)<

依概率收敛序列的性质: ( , ) ( , ) , , , 又设函数 在 点 连 续 设 g x y a b X a Y b P n P n ⎯→ ⎯→ g(X ,Y ) g(a, b). P 则 n n ⎯→ 证明 因为 g(x, y)在(a,b)连续,   0,   0, 使得当 x − a + y − b   时, g(x, y) − g(a,b)  

概车纶与款理统外 于是{g(Xm,Yn)-g(a,b)≥ c{Xn-d+Yn-b≥6} c{x-.-2≥} 因此P{g(Xm,Yn)-g(a,b)≥} srx.-a≥}+Pr-w≥} 40, 故IimP{g(Xn,Yn)-g(a,b)<}=1.[证毕]

, 2 2      −         −    Xn a  Yn b { g(X ,Y ) − g(a,b)   } 于是 n n  { X − a + Y − b   } n n P{ g(X ,Y ) − g(a,b)   } 因此 n n       + −         −  2 2   P Xn a P Yn b ⎯ ⎯→0, n→ lim { ( , ) − ( , )  } = 1. → P g X Y g a b  n n n 故 [证毕]

概華论与款醒硫外 定理二（伯努利大数定理) 伯努利 设n4是n次独立重复试验中事件A发生 的次数，p是事件A在每次试验中发生的率 则对于任意正数ε>0，有 ▣P侣-1或P会->小- 证明 引入随机变量 [0,若在第k次试验中A不发生， 1, 若在第k次试验中A发生，k=1,2

lim 1 lim 0. 0, , , =       = −        −   → →    p n n p P n n P p A n n A A n A n A 或 则对于任意正数 有 的次数 是事件 在每次试验中发生的概率 设 是 次独立重复试验中事件 发 生 证明 引入随机变量    = = 1, , 1,2, . 0, , k A k  k A Xk 若在第 次试验中 发生 若在第 次试验中 不发生 定理二（伯努利大数定理） 伯努利