《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第三章 多维随机变量及其分布 第四节 相互独立的随机变量

概華论与款程统外 第四节相互独立的随机变量 一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结

一、随机变量的相互独立性 二、二维随机变量的推广 三、小结 第四节 相互独立的随机变量

概车纶与款理统外 一、随机变量的相互独立性 1.定义 设F(x,y)及Fx(x),F,(y)分别是二维随机变量 (X,Y)的分布函数及边缘分布函数若对于所有x,y 有 P{X≤x,Y≤y}=P{X≤xP{Y≤y, 即 F(x,y)=Fx(x)Fy(y), 则称随机变量X和Y是相互独立的

. ( , ) ( ) ( ), { , } { } { }, ( , ) . , ( , ) ( ), ( ) 则称随机变量 和 是相互独立的 即 有 的分布函数及边缘分布函 数 若对于所有 设 及 分别是二维随机变量 X Y F x y F x F y P X x Y y P X x P Y y X Y x y F x y F x F y X Y X Y =   =   一、随机变量的相互独立性 1.定义

概華论与款醒硫外 2.说明 ()若离散型随机变量(X,Y)的联合分布律为 P{X=i,Y=j}=p,i,j=1,2,. X和Y相互独立 PX=xi,Y=y)=P(X=x)P(Y=y), 即pg=P。‘pj

{ , } { } { }, i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y X 和Y 相互独立 2.说明 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 P{X = i,Y = j} = p , i, j = 1,2,  . ij . pij pi• p• j 即 = 

概车纶与款理统外 (2)设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y),边缘概率密度分别为fx(x),f(y),则有 X和Y相互独立台f(x,y)=fx(x)fr(y), (3)X和Y相互独立，则 f(X)和g(Y)也相互独立

 f (x, y) f (x) f ( y). = X Y (3) X 和Y 相互独立, 则 X 和Y 相互独立 边缘概率密度分别为 则有 设连续型随机变量 的联合概率密度为 ( , ), ( ), ( ), (2) ( , ) f x y f x f y X Y X Y f (X) 和 g(Y )也相互独立

概率伦与款理统针「 例1已知(X,Y)的分布律为 (X,Y)(1,1)(1,2)(1,3) (2,1(2,2)(2,3) D.6 o is 3 a p (1)求a与B应满足的条件； 2)若X与Y相互独立，求a与B的值 解将(X,Y)的分布律改写为

( X , Y ) ij p (1,1 ) ( 1 , 2 ) ( 1 , 3 ) ( 2 , 1 ) ( 2 , 2 ) ( 2 , 3 ) 61 91 181 31   解 将 (X,Y )的分布律改写为 例 1 已知 (X,Y )的分布律为 (2) , . (1) ; 若 与 相互独立 求 与 的值 求 与 应满足的条件    X Y

概華论与敲理统外「 X 1 2 3 Pi=P(X=x} 1 1 1 1 1 6 9 18 3 1 1 2 a B +a+B 3 12 1 2 P.=P(Y=y) a 8+B +a+B 3 0)由分布律的性质知a≥月≥子+a+月=1 故a与应满足的条件是：a≥0，B≥0且a+B= 1 3

(1)由分布律的性质知   0,   0, 1, 3 2 + +  = . 3 1 故与应满足的条件是:  0,   0 且 +  = X Y 1 2 3 1 2 6 1 9 1 18 1 3 1   { } i i p = P X = x • 3 1 + +  3 1 { } j j p = P Y = y • 2 1 + 9 1 +  18 1 + +  3 2

概華伦与款程统外 (2)因为X与Y相互独立，所以有 P=P。‘P’(i=1,2;j=1,2,3) 特别有 n=n→)g+a小a- 又a+B-3得B-)

=  , ( = 1,2; = 1,2,3) • • p p p i j ij i j 特别有 12 1• •2 p = p  p        = + 9 1 3 1 9 1 , 9 2   = 又 , 3 1  +  = . 9 1 得  = (2) 因为 X 与 Y 相互独立, 所以有

概车纶与散理统外「 例2设随机变量X和Y相互独立，并且X服从 N(a,o2),Y在[-b,b上服从均匀分布，求(X,Y) 的联合概率密度. 解由于X与Y相互独立， 所以f(x,y)=fx(x)fy) 又fx四)=72玩ae20,-o<r<@

. ( , ), [ , ] , ( , ) , 2 的联合概率密度 在 上服从均匀分布 求 设随机变量 和 相互独立 并且 服从 N a σ Y b b X Y X Y X − e , ; 2π 1 ( ) 2 2 2 ( ) = −     − − x σ f x σ x a 又 X f (x, y) f (x) f ( y) X Y 所以 =  解 由于X 与Y 相互独立, 例2

概華伦与款程统外 f(y)=2 -b≤y≤b, 0,其他. 得f(x,y)= 1,1- 2b√2元G , 其中-0b时，f(x,y)=0

     −   = 0, . , , 2 1 ( ) 其他 b y b fY y b e , 2π 1 2 1 ( , ) 2 2 2 ( ) σ x a b σ f x y − − 得 =  当 y  b时, f (x, y) = 0. 其中 −   x  , − b  y  b

概率伦与散理统针」 例3设两个独立的随机变量X与Y的分布律为 3 Y2 4 Px 0.3 0.7 0.6 0.4 求随机变量(X,Y)的分布律 解因为X与Y相互独立，所以 P(X=xi,Y=yi}=P(X=x)P(Y=yi}. P{X=1,Y=2}=P{X=1}PY=2}=0.3×0.6=0.18, P{X=1,Y=4}=P{X=1}P{Y=4=0.3×0.4=0.12

解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 求随机变量 ( X, Y ) 的分布律. 例3 设两个独立的随机变量 X 与Y 的分布律为 X PX 1 3 0.3 0.7 Y PY 2 4 0.6 0.4 { , } { } { }. i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y P{X = 1,Y = 4} = P{X = 1}P{Y = 4} = 0.3 0.4= 0.12, P{X = 1,Y = 2} = P{X = 1}P{Y = 2} = 0.3 0.6= 0.18