《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望

概车纶与款理统外 第一节 数学期望 一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、随机变量函数的数学期望 四、小结

一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、随机变量函数的数学期望 四、小结 第一节 数学期望

概華伦与款程统外 一、数学期望的概念 引例1分赌本问题产生背景) A,B两人赌技相同，各出 赌金100元，并约定先胜三局者为 胜，取得全部200元.由于出现意 外情况，在A胜2局B胜1局时， 不得不终止赌博，如果要分赌金， 该如何分配才算公平？

引例1 分赌本问题(产生背景) A, B 两人赌技相同, 各出 赌金100元,并约定先胜三局者为 胜, 取得全部 200 元.由于出现意 外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平? 一、数学期望的概念

概车纶与款理统外 1.离散型随机变量的数学期望 定义设离散型随机变量X的分布律为 P{X=x}=pk,k=1,2,. 00 00 若级数∑xP.绝对收敛，则称级数∑xkP k=1 k=1 为随机变量X的数学期望，记为E(X).即 E(X)=∑xPA· k=1

1. 离散型随机变量的数学期望 定义 ( ) . , ( ). , { } , 1,2, . 1 1 1     =  =  = = = = = k k k k k k k k k k k E X x p X E X x p x p P X x p k X 为随机变量 的数学期望 记 为 即 若级数 绝对收敛 则称级数 设离散型随机变量 的分布律为 

概華伦与款程统外 关于定义的几点说明 (1)EX)是一个实数，而非变量，它是一种加 权平均，与一般的平均值不同，它从本质上体现 了随机变量X取可能值的真正的平均值，也称 均值 (2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变，之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X取可能值 的平均值，它不应随可能值的排列次序而改变. (3)随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同

关于定义的几点说明 (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同. (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变

概车纶与款理统外 X12 假设 p0.020.98 随机变量X的算术平均值为 1+2=15, 2 E(X)=1×0.02+2×0.98=1.98. 它从本质上体现了随机变量X取可能值的平均值 当随机变量X取各个可能值是等概率分布时，X 的期望值与算术平均值相等

x O • 随机变量 X 的算术平均值为 1.5, 2 1 2 = + 假设 E(X) = 1 0.02 + 2 0.98= 1.98. 它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值. 当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等. • 1 • 2 • • X 1 2 p 0.02 0.98

概華论与款醒统外 实例1谁的技术比较好？ 甲、乙两个射手，他们射击的分布律分别内 击中环数 8 10 甲射手 概率 0.30.10.6 击中环数 8 93 10 乙射手 概率 0.20.50.3 试问哪个射手技术较好？

甲、乙两个射手, 他们射击的分布律分别为 试问哪个射手技术较好? 实例1 谁的技术比较好? 乙射手 击中环数 概率 8 9 10 0.2 0.5 0.3 甲射手 击中环数 概率 8 9 10 0.3 0.1 0.6

概车纶与款理统外 解设甲、乙射手击中的环数分别为X1,X2 E(X1)=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3(环)， E(X2)=8×02+9×0.5+10×0.3=9.1(环)， 故甲射手的技术比较好：

解 ( ) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3( ), E X1 =  +  +  = 环 ( ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1( ), E X2 =  +  +  = 环 , . 设甲、乙射手击中的环数分别为 X1 X2 故甲射手的技术比较好

概華论与款程统外 实例2发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票10万张，每张2元.设 头等奖1个，奖金1万元，二等奖2个，奖金各5千元； 三等奖10个，奖金各1千元；四等奖100个，奖金各 100元；五等奖1000个，奖金各10元.每张彩票的成 本费为0.3元，请计算彩票发行单位的创收利润. 解设每张彩票中奖的数额为随机变量X,则 X10000 5000 1000 100 10 0 1/105 2/10510/105100/1051000/105p

实例2 发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设 头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元; 三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各 100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成 本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润. 解 设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则 X p 10000 5000 1000 100 10 0 5 1 10 5 2 10 5 10 10 5 100 10 5 1000 10 p0

概车纶与款理统外 每张彩票平均能得到奖金 E(X)=10000x 10+5000×,2 5++0×p, =0.5(元)， 每张彩票平均可赚 2-0.5-0.3=1.2(元)， 因此彩票发行单位发行10万张彩票的创收利润为 100000×1.2=120000(元)

5 5 0 0 10 2 5000 10 1 E(X) = 10000 +  ++  p = 0.5(元), 每张彩票平均可赚 2 − 0.5 − 0.3 = 1.2(元), 每张彩票平均能得到奖金 因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为 1000001.2 = 120000(元)

概華论与款醒硫外 实例3如何确定投资决策方向？ 某人有10万元现金，想投资于某 项目，预估成功的机会为30%，可得 利润8万元，失败的机会为70%，将 损失2万元.若存入银行，同期间的 利率为5%，问是否作此项投资？ -2 解 设X为投资利润，则p 0.3 0.7 E(X)=8×0.3-2×0.7=1万元)，存入银行的利息： 10×5%=0.5(万元)，故应选择投资

实例3 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金，想投资于某 项目，预估成功的机会为 30%，可得 利润8万元 ， 失败的机会为70%，将 损失 2 万元．若存入银行，同期间的 利率为5% ，问是否作此项投资? 解 设 X 为投资利润，则 E(X) = 8 0.3 − 2 0.7 = 1(万元), 存入银行的利息: 10 5% = 0.5(万元), 故应选择投资. X p 8 − 2 0.3 0.7