《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第一章 概率论的基本概念 第三节 频率与概率

概车纶与款理统外「 第三节 频率与概率 一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质 三、小结

一、频率的定义与性质 二、概率的定义与性质 三、小结 第三节 频率与概率

概華论与款醒硫外 一、频率的定义与性质 1.定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A发生的次数n4称为事件A发 生的频数比值”1称为事件A发生的频率，并记 成fn(A)

( ). . , , , , f A A n n A n A n n n A A 成 生的频数 比值 称为事件 发生的频率 并记 次试验中 事件 发生的次数 称为事件 发 在相同的条件下 进行了 次试验 在这 1. 定义 一、频率的定义与性质

概车纶与款理统外 2.性质 设A是随机试验E的任一事件，则 (1)0≤f(A)≤1； (2)f(S)=1,f(0)=0; (3)若A,A2,.,A是两两互不相容的事件，则 f(A1UAU.UAk)=fn(A1)+fn(A2)+.+fn(Ak)

2. 性质 设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则 (1) 0  f (A)  1; n (2) f (S) = 1, f () = 0; ( ) ( ) ( ) ( ). (3) , , , , 1 2 1 2 1 2 k n n n k k f A A A f A f A f A A A A   = + ++ 若  是两两互不相容的事件 则

概率伦与款程统外 实例将一枚硬币抛掷5次、50次、500次，各做 7遍，观察正面出现的次数及频率 试验 n=5 n=50 n=500 序号 NH ng f na 2 0.4 22 0.44 251 0.502 2 0.498 3 随n的增大，频率f呈现出稳定性 U.4☑ Z50 0.512 .50 247 0.494 5 在处波动较 .48 251 0.502 6 2 0.4 18 0.36 2波动最小 7 0.8 27 0.54 258 l0.516

试验 序号 n = 5 nH f 1 2 3 4 5 6 7 2 3 1 5 1 2 4 nH f n = 50 22 25 21 25 24 18 27 nH n = 500 251 249 256 247 251 262 258 0.4 0.6 0.2 1.0 0.2 0.4 0.8 0.44 0.50 0.42 0.48 0.36 0.54 f 0.502 0.498 0.512 0.494 0.524 0.516 0.50 0.502 实例 将一枚硬币抛掷 5 次、50 次、500 次, 各做 7 遍, 观察正面出现的次数及频率. 在 处波动较大 2 1 波动最小 随n的增大, 频率 f 呈现出稳定性 在 处波动较小 2 1

概车纶与款理统外 从上述数据可得 (1)频率有随机波动性，即对于同样的，所得的 f不一定相同； (2)抛硬币次数n较小时，频率f的随机波动幅 度较大，但随n的增大，频率f呈现出稳定性.即 当n逐渐增大时频率f总是在0.5附近摆动，且 逐渐稳定于0.5

从上述数据可得 (2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5. (1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同;

概華伦与款程统外 实验者 n na f 德·摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 K·皮尔逊 12000 6019 0.5016 K·皮尔逊 24000 12012 0.5005 f(H)n的增大 1 2

实验者 德 摩根 蒲 丰 n nH f K 皮尔逊 K 皮尔逊  2048 1061 0.5181 4040 2048 0.5069 12000 6019 0.5016 24000 12012 0.5005 f ( H ) n的增大 . 21

概车伦与散理统外「 我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验 高尔顿(Galton)板试验， 试验模型如下所示： 自上端放入一小球，任其自 由下落，在下落过程中当小球碰 到钉子时，从左边落下与从右边 落下的机会相等碰到下一排钉 子时又是如此.最后落入底板中 的某一格子.因此，任意放入一球 高尔顿板 则此球落入哪一个格子，预先难以确定但是如果放 入大量小球，则其最后所呈现的曲线，几乎总是一样 的

我们再来看一个验证频率稳定性的著名实验 高尔顿(Galton)板试验. 试验模型如下所示: 自上端放入一小球,任其自 由下落,在下落过程中当小球碰 到钉子时,从左边落下与从右边 落下的机会相等.碰到下一排钉 子时又是如此.最后落入底板中 的某一格子.因此,任意放入一球, 则此球落入哪一个格子,预先难以确定.但是如果放 入大量小球,则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样 的

概率伦与款程统外 请看动画演示 单击图形播放/暂停 ESC键退出 TIIIII 高尔顿板

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概车纶与款理统外「 重要结论 频率当n较小时波动幅度比较大，当n逐渐增 大时，频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小.它就是事件的 概率

重要结论 频率当 n 较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增 大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值从本质上反映 了事件在试验中出现可能性的大小．它就是事件的 概率．

概華论与款醒硫外 请同学们思考. 医生在检查完病人的时候摇摇头：“你的 病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活 ”当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说： “但你是幸运的.因为你找到了我，我已经看过 九个病人了，他们都死于此病” 医生的说法对吗？

医生在检查完病人的时候摇摇头：“你的 病很重，在十个得这种病的人中只有一个能救活 .” 当病人被这个消息吓得够呛时，医生继续说： “但你是幸运的．因为你找到了我，我已经看过 九个病人了，他们都死于此病.” 医生的说法对吗? 请同学们思考