西安电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望

第四章随机变量的数字特征 9§4.1数学期望 9§4.2方差 §4.3协方差及相关系数 §4.4矩、协方差矩阵 2134

第四章 随机变量的数字特征  §4.1 数学期望  §4.2 方差  §4.3 协方差及相关系数  §4.4 矩、协方差矩阵 2/34

§4.1数学期望 ⊙概率分布虽然能够完整的描述随机变量的统计特征，但有 时对于我们关心的问题而言却不直观。如： ·研究水稻品种时，常关注的是稻穗的平均稻谷粒数，这从稻谷粒数 的分布函数是不能直接看出来的，而且在实际生产中可能只关心该 平均值，甚至不关心分布函数。 。一篮球队上场比赛的运动员身高是一随机变量，常关心平均身高 ●1 研究信道上的随机噪声时，出于热噪声功率对系统可能产生较大影 响的考虑，对噪声的均值很关心，而且还关心噪声电压的大小与噪 声电压的均值的偏离程度。这两个量在实际系统中往往比知道随机 变量的分布更重要 9本章重点讨论数学期望，方差，相关系数，矩等 3/34

§4.1 数学期望  概率分布虽然能够完整的描述随机变量的统计特征，但有 时对于我们关心的问题而言却不直观。如：  研究水稻品种时，常关注的是稻穗的平均稻谷粒数，这从稻谷粒数 的分布函数是不能直接看出来的，而且在实际生产中可能只关心该 平均值，甚至不关心分布函数。  一篮球队上场比赛的运动员身高是一随机变量，常关心平均身高  研究信道上的随机噪声时，出于热噪声功率对系统可能产生较大影 响的考虑，对噪声的均值很关心，而且还关心噪声电压的大小与噪 声电压的均值的偏离程度。这两个量在实际系统中往往比知道随机 变量的分布更重要  本章重点讨论数学期望，方差，相关系数，矩等 3/34

§4.1数学期望 实例：一射手进行打靶练习，规定 ●打中区域e得0分 eo S ei 。打中区域e得1分 。打中区域e,得2分 以X记每次射击得分数，则X的分布律如下： X012 Pk Po P1 P2 4/34

§4.1 数学期望 实例：一射手进行打靶练习，规定  打中区域e0得0分  打中区域e1得1分  打中区域e2得2分  以X记每次射击得分数，则X的分布律如下： X 0 1 2 pk p0 p1 p2 e2 e1 e0 4/34

§4.1数学期望 考察每次射击的平均得分数？ ●射击N次，其中得0分有a次，得1分有a1次，得2分有2次 即N=,+1+2 ●射击N次得分总和为aX0+a1×1+2×2 。每次射击平均分数为a,×0+4×1+4×2小-立4只， 这是有限次实验的算术平均值，其中、是事件P区=的 频率。 9 当Nn时，无限的接近一个稳定的常数k,即事件PX=码 发生的概率 。也就是说，当N∞时，算术平均值k→立仰一个稳定的 常数值，就把该值称为随机变量X的薮学期望或均值 Expectation 5/34

§4.1 数学期望  考察每次射击的平均得分数？  射击N次，其中得0分有a0次，得1分有a1次，得2分有a2次 即N＝a0＋a1＋a2  射击N次得分总和为a0×0＋a1×1＋a2×2  ∴每次射击平均分数为(a0×0＋a1×1＋a2×2)/N= ， 这是有限次实验的算术平均值，其中 是事件P{X=k}的 频率。  当N→∞时， 无限的接近一个稳定的常数pk，即事件P{X=k} 发生的概率  也就是说，当N→∞时，算术平均值 → 一个稳定的 常数值，就把该值称为随机变量X的数学期望或均值 Expectation  2 k 0 k N a k N ak N ak  2 k 0 k N a k  2 k 0 kpk 5/34

§4.1数学期望 定义设离散型随机变量X的分布律为 P{X=x=Pk,k=1,2,. 若级数∑P绝对收敛，则称级数∑xP:的和为随机变 量X的数学期望，记为E(X), 即EX)=∑xP 。设连续型随机变量X的概率密度为f),若积分xf(x)s 绝对收敛，则称积分f(x)的值为随机变量X的数学 期望，记为E(X), 即EX)=广xf(x)d 6/34

§4.1 数学期望 定义 设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk }＝pk，k＝1,2,.  若级数 绝对收敛，则称级数 的和为随机变 量X的数学期望，记为E(X)， 即E(X)＝  设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分 绝对收敛，则称积分 的值为随机变量X的数学 期望，记为E(X)， 即E(X)＝   k1 xk pk   k1 xk pk   k1 k pk x    xf (x)dx    xf (x)dx    xf (x)dx 6/34

§4.1数学期望 9数学期望简称期望，又称为均值 物理意义 。质心的概念：可以把物体的质量看作是集中在一点处， 如果一条直线的质量线密度为x),x为直线上任一质点 的坐标，那么直线的质心的位置x=? xf(x)deff(x)d 现在如果)是概率密度，则 xxf(x)dxff(x)dxf(x)dv1 即x。=EX),数学期望相当于质心的坐标 7134

§4.1 数学期望  数学期望简称期望，又称为均值  物理意义  质心的概念：可以把物体的质量看作是集中在一点处， 如果一条直线的质量线密度为f(x)，x为直线上任一质点 的坐标，那么直线的质心的位置xc＝？ xc ＝ / 现在如果f(x)是概率密度，则 xc ＝ / ＝ /1  即xc ＝E(X)，数学期望相当于质心的坐标    xf (x)dx    f (x)dx    xf (x)dx    f (x)dx    xf (x)dx 7/34

§4.1数学期望 9EX)是实数而非变量，它是一种加权平均，与一般变量的 算术平均值不同。 ?大量试验的算术平均值趋近于期望 9只有级数的和或广义积分的值存在，数学期望才有意义， 而有时是不存在的 ·注意绝对收敛与条件收敛的区别，某些交错级数是条件收敛的， 其和可能不为一，因此期望不存在。如果一个数项级数{um}的各项 取绝对值后满足收敛，则称数项级数{山}绝对收敛，相应的如果绝 对值的积分收敛，则绝对收敛 °数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确定 。若X服从某一分布，也称EX)为这一分布的数学期望， 比如二项分布，均匀分布等的数学期望 8134

§4.1 数学期望  E(X)是实数而非变量，它是一种加权平均，与一般变量的 算术平均值不同。  大量试验的算术平均值趋近于期望  只有级数的和或广义积分的值存在，数学期望才有意义， 而有时是不存在的  注意绝对收敛与条件收敛的区别，某些交错级数是条件收敛的， 其和可能不为一，因此期望不存在。如果一个数项级数{un }的各项 取绝对值后满足收敛，则称数项级数{un }绝对收敛，相应的如果绝 对值的积分收敛，则绝对收敛  数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确定  若X服从某一分布，也称E(X)为这一分布的数学期望， 比如二项分布，均匀分布等的数学期望 8/34

§4.1数学期望 例设随机变量X服从柯西分布，其密度函数为 f(x)= π1+x2) (-0<X<+0) 求EX). dx 解：由于积分x| π(1+x2) 因此柯西分布的数学期望不存在， 9/34

例 设随机变量 X服从柯西分布,其密度函数为 求E(X). 解: 由于积分 因此柯西分布的数学期望不存在. ( ) (1 ) 1 ( ) 2       x x f x        (1 ) | | 2 x dx x  §4.1 数学期望 9/34

§4.1数学期望 例：甲乙两人打靶，所得分数X和Y分布律为 X012 1 2 Pk 00.20.8 0.60.30.1 试评定它们成绩的好坏 解主要看多次射击的得分均值，即数学期望， 离散型：EX)=∑xp: EX)=0×0+1×0.2+2×0.8=1.8分 EY)=0×0.6+1×0.3+2×0.1=0.5分 所以乙的成绩远不如甲的成绩 10/34

§4.1 数学期望 例：甲乙两人打靶，所得分数X和Y分布律为 X 0 1 2 Y 0 1 2 pk 0 0.2 0.8 pk 0.6 0.3 0.1 试评定它们成绩的好坏  解 主要看多次射击的得分均值，即数学期望， 离散型：E(X)＝ E(X)＝0×0＋1×0.2＋2×0.8=1.8分 E(Y)＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1=0.5分 所以乙的成绩远不如甲的成绩   k1 k pk x 10/34

§4.1数学期望 例2有两个相互独立工作的电子装置，寿命X和X2服从同一 指数分布 1 e-x/0,x>O f)=1 0>0. 0, 其它 若将二者串联成整机，求整机寿命N的数学期望E(W) 9解N=min(X1,X),要求期望，先求概率密度，本题要先 求N的分布函数 ∴.Fmin(c)=1一[1一F]2X,X,独立同分布 又nwr英9 其它 [1-e2x,x>0 ∴.Fmin()=1-[1-Fx= 0, 其它 m=后。“，限从参数为2的指数分布 (0,其它 ∴E)=nfmn(x)=/2,指数分布的均值即参数R34

§4.1 数学期望 例2 有两个相互独立工作的电子装置，寿命X1和X2服从同一 指数分布 f(x)＝ ，θ>0. 若将二者串联成整机，求整机寿命N的数学期望E(N)  解 N=min(X1 ,X2 )，要求期望，先求概率密度，本题要先 求N的分布函数 ∴Fmin(x)＝1－[1－F(x)]2 //X1 ,X2独立同分布 又F(x)= ， ∴Fmin(x)＝1－[1－F(x)]2＝ ∴fmin(x)＝ ，服从参数为θ/2的指数分布 ∴E(N)＝ =θ/2，指数分布的均值即参数θ/2       0, 其它 , 0 1 / e x x         0, 其它 1 , 0 / e x x        0, 其它 1 , 0 2 / e x x        0, 其它 , 0 2 2 / e x x      xfmin(x)dx 11/34