西安电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 3.4 相互独立的随机变量 3.5 两个随机变量的函数的分布

知识点回顾第一章 随机现象 统计规律性 随机试验 1.相同条件下可重复进行； 2.每次试验可能结果不止一个，但可以预知所有可能结果； 3.每次试验前不能预知哪一个结果出现 样本空间 (映射) 随机变量 (取值) →总体 S X N (最基本的概念) (单值实值函数) (取自X的全部可能试验观察值) 随机事件 随机事件 部分个体 (子集，S,基本事件) (子集) (简单随机样本) 概率空间（样本空间S,事件域F,事件的概率P) 关系：包含，相等，和事件，积事件，差事件，互不相容，逆事件（对立事件） 事件间的关 系和运算 描述：元素考察法；韦恩图法 运算：交换律；结合律；分配律；德摩根律

知识点回顾-第一章 随机现象 统计规律性 随机试验 1.相同条件下可重复进行； 2.每次试验可能结果不止一个，但可以预知所有可能结果； 3.每次试验前不能预知哪一个结果出现 样本空间 S 随机变量 X 总体 N (最基本的概念) (单值实值函数) (取自X的全部可能试验观察值) 随机事件 (子集，f，S，基本事件) 随机事件 (子集) 部分个体 (简单随机样本) 事件间的关 系和运算 关系：包含，相等，和事件，积事件，差事件，互不相容，逆事件(对立事件) 描述：元素考察法；韦恩图法 运算：交换律；结合律；分配律；德·摩根律 (映射) (取值) 概率空间(样本空间S, 事件域F, 事件的概率P)

知识点回顾-第一章 频率的稳定值（伯努利大数定律） 1°非负性；2°规范性；3°可列可加性 -1°P()=0;2°有限可加性PA1UA2U.UAn)=PA1)+PA2)+.十PA); 概率的公理化定义 3°包含关系P(B-A)=P(B)-P(A),P(B)2P4): 4°P40s1;5°P(A)=1-P4A): 6°加法公式P(AUB)=P(十P(B)一P(AB) -1°随机变量及其分布 概率的计算 -2°古典概型至少.；放回和不放回抽样；超几何分布；抽签问题；生日问题 -3°几何概型 -4°小概率事件和实际推断原理参数估计和假设检验等的原理 TP定义ABA=,AA0,相当于样本空间为4 一2°乘法定理 条件概率 设P(A)>0,则有PAB)=P(A)P(B4) 3°全概率公式 (①BB=中，i,j=1,2,n; 划分 (ii)B1UB2 U.UB=S P(A)=P(A B1)P(B1)+P(A B2)P(B2)+.+P(A B)P(B) 4°贝叶斯公式后验概率 P(AB)P(B) P(BiA)= ,i=1,2,n 独立性，个事件的独立性和两两相互独立 P(AIB)P(B)

知识点回顾-第一章 概率的公理化定义 频率的稳定值(伯努利大数定律) 概率的计算 1°非负性；2°规范性；3°可列可加性 1°P(Φ)=0；2°有限可加性P(A1∪A2∪.∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋.＋P(An)； 3°包含关系 P(B－A)＝P(B)－P(A)，P(B)³P(A)； 4°P(A)£1；5°P( )=1－P(A)； 6°加法公式 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB) A 1°随机变量及其分布 2°古典概型 至少. ;放回和不放回抽样;超几何分布;抽签问题;生日问题 4°小概率事件和实际推断原理 参数估计和假设检验等的原理 条件概率 1°定义 P(B|A)＝ ( ) ( ) P A P AB ，P(A)>0，相当于样本空间为SA 2°乘法定理 设P(A)>0，则有P(AB)=P(A)P(B|A) 3°全概率公式 (i) BiBj=Φ，i≠j，i，j＝1，2，.，n； (ii) B1∪B2∪.∪Bn=S 划分 P(A)＝P(A|B1) P(B1)+P(A|B2) P(B2)+ .+ P(A|Bn) P(Bn) 4°贝叶斯公式 后验概率 P(Bi|A)= ，i＝1，2，.，n  n i i i i i P A B P B P A B P B 1 ( | ) ( ) ( | ) ( ) 独立性，n个事件的独立性和两两相互独立 3°几何概型

知识点回顾-第二章 X落在区间（一o,x)上的概率 不减函数、右连续性 随机变量X的分布 求解分布函数，概率密度要讨 分布函数Fx 论区间（一o∞，上的全部情况 -(0-1)分布 一次伯努利试验P(4) 离散型：分布律 二项分布X~b(np)最值 n重伯努利试验，A发生的次数 泊松分布X)问题 某确定时间段内A发生的次数 超几何分布X~H,D,) 不放回抽样时A发生次数的概率，而二项分布相当于放回 均匀分布XU(a,b) 连续型：概率密度 指数分布，无记忆性 事件发生的时间间隔 正态分布X-N(4d) 多种随机因素综合作用 图象特性 1°X-N(0,1),gx)概率密度函数 随机变量X的函数的分布一般步骤 表达式 2°分布函数Fx)=1一F(一x) 已知c),Y=g(X),求fy) 标准正态分布 3°Z=(X-/cN0,1) 1°先写出Y的分布函数定义式：F)=P{Y} 4°3o准则 其它需了解的分布 由Y=g)确定Y的值域，当不在值域范围内时单独讨论 5°上分位点 对数正态分布 分布 2°将Y=g(X代入上式 =P(g(X)S) 分布 3°由g(X)S求解X的范围 =Pg()sy表示为y的形式 Weibull分布 4°由X的分布函数Fxx)表示以上概率，得到关于y的表达式Fy),其原自变量x用关于y的表达式来代 5°求导得fy)=dFy)/

随机变量X的分布 分布函数F(x) 离散型：分布律 连续型：概率密度 (0－1)分布 二项分布 X~b(n,p) 泊松分布 X~p(l) 最值 问题 均匀分布 X~U(a,b) 指数分布，无记忆性 正态分布 X~N(m, s 2 ) 图象特性 表达式 标准正态分布 1° X~N(0，1)，j(x)概率密度函数 2° 分布函数F(x)＝1－F(－x) 3° Z＝(X-m)/s~N(0，1) 4° 3s准则 5° 上a分位点 X落在区间(－,x)上的概率 不减函数、右连续性 求解分布函数，概率密度要讨 论区间(－,)上的全部情况 随机变量X的函数的分布一般步骤 已知fX(x)，Y=g(X)，求fY(y) 1°先写出Y的分布函数定义式：FY(y)＝P{Y£y} 由Y=g(X)确定Y的值域，当y不在值域范围内时单独讨论 2°将Y=g(X)代入上式 ＝P{g(X)£y} 3°由g(X)£y求解X的范围 ＝P{X|g(X)£y} 表示为y的形式 4°由X的分布函数FX(x)表示以上概率，得到关于y的表达式FY(y)，其原自变量x用关于y的表达式来代 5°求导得fY(y)＝dF(y)/dy 一次伯努利试验 P(A) n重伯努利试验，A发生的次数 某确定时间段内A发生的次数 事件发生的时间间隔 多种随机因素综合作用 其它需了解的分布 对数正态分布 G分布 b分布 Weibull分布 超几何分布X~H(n, D, N) 不放回抽样时A发生次数的概率，而二项分布相当于放回 知识点回顾-第二章

知识点回顾第三章 二维随机变量（区，）：X=X,Y-Y{.X和Y之间存在相互关系 二维随机变量区，)的分布主要讨论四种关系 1°作为整体的联合分布 X和Y的联合分布函数) X和Y的联合分布律 凡wyW-PX≤， P=xY=y州=P防，ij户1,2，. F(x,y)=∑∑Pg 所有的分布律 xy不减函数、右连续性 ,≤ry, 和概率密度共 X和Y的联合概率密度c) 有的性质：非 O<Fx,y)s1 负性、规范性 落在矩形区域的橘率 F(x.y)=f(u.v)dudy 一2°整体与分量的关系，边缘分布 X的边缘分布律p: X的边缘分布函数Fx=凡，网 Y的边缘分布律P Y的边缘分布函数F=凡oy) X的边缘概率密度) fx()=[f(x.y)dy Y的边缘概率密度∫) f(y)=[f(x,y)dx 一3°X,Y之间的条件关系，条件分布 条件分布律 条件概率密度 作为条件的概率不为0时或者y的取值范围 三要素 条件概率的表达式：联合/边缘 定义域或x范围

知识点回顾-第三章 二维随机变量 (X,Y): X=X{e}, Y=Y{e}. X和Y之间存在相互关系 二维随机变量(X,Y)的分布主要讨论四种关系 1 作为整体的联合分布 3 X,Y之间的条件关系，条件分布 所有的分布律 和概率密度共 有的性质：非 负性、规范性 2 整体与分量的关系，边缘分布 X和Y的联合分布函数F(x,y) F(x,y)=P{X£x,Y£y} x,y不减函数、右连续性 0£F(x,y)£1 落在矩形区域的概率 X和Y的联合分布律 P{X＝xi , Y＝yj}＝pij , i, j=1,2, .   £ £  x x y y ij i j F(x, y) p X和Y的联合概率密度 f(x,y)    y x F(x, y) f (u,v)dudv X的边缘分布函数FX(x)=F(x,) Y的边缘分布函数FY(y)=F(,y) X的边缘分布律 pi· Y的边缘分布律 p·j X的边缘概率密度fX(x) Y的边缘概率密度fY(y)    f x  f x y dy X ( ) ( , )    f y  f x y dx Y ( ) ( , ) 条件分布律 条件概率密度 三要素 作为条件的概率不为0时j或者y的取值范围 条件概率的表达式：联合/边缘 定义域i或x范围

第三章多维随机变量及其分布 9§3.1二维随机变量 9§3.2边缘分布 9§3.3条件分布 。§3.4相互独立的随机变量 9§3.5两个随机变量的函数的分布

第三章 多维随机变量及其分布  §3.1 二维随机变量  §3.2 边缘分布  §3.3 条件分布  §3.4 相互独立的随机变量  §3.5 两个随机变量的函数的分布

第三章多维随机变量及其分布 9§3.1二维随机变量 9§3.2边缘分布 §3.3条件分布 9§3,4相互独立的随机变量 。§3.5两个随机变量的函数的分布

第三章 多维随机变量及其分布  §3.1 二维随机变量  §3.2 边缘分布  §3.3 条件分布  §3.4 相互独立的随机变量  §3.5 两个随机变量的函数的分布

§3.4相互独立的随机变量 定义：设Fxy)及Fc)和Fy)分别是二维随机变量(X,Y) 的分布函数及边缘分布函数，若对于所有xy有 P{X≤，YS}=P{X≤PY百y}, 即Fy)=Fxc)FO) 则称随机变量X和Y是相互独立的。 对于连续型随机变量(X,Y),y)及f心)和fy)分别为其 概率密度和边缘概率密度：X和Y相互独立的条件等价于 c)=心f)几乎处处成立 。几乎处处成立的意义是，除去平面上面积为0的集合（点， 线)以外，处处成立

§3.4 相互独立的随机变量  定义： 设F(x,y)及FX (x)和FY (y)分别是二维随机变量(X,Y) 的分布函数及边缘分布函数，若对于所有x,y有  P{X≤x,Y≤y}＝P{X≤x}P{Y≤y}，  即 F(x,y)＝FX (x)FY (y)  则称随机变量X和Y是相互独立的。  对于连续型随机变量(X,Y)，f(x,y)及fX (x)和fY (y)分别为其 概率密度和边缘概率密度： X和Y相互独立的条件等价于 f(x,y)＝fX (x)fY (y)几乎处处成立  几乎处处成立的意义是，除去平面上面积为0的集合(点， 线)以外，处处成立

§3.4相互独立的随机变量 对于离散型随机变量(X,Y),X和Y相互独立 的条件等价于PX=,Y=y=PX=PY =y}对于X和Y的所有可能取值（心y)都成立， 或记为p=pp)i,j=1,2,. ※在实际中，考察两个随机变量的独立性 往往用概率密度和分布律的定义比较方便

§3.4 相互独立的随机变量  对于离散型随机变量(X,Y)，X和Y相互独立 的条件等价于P{X＝xi ,Y＝yj }＝P{X＝xi }P{Y ＝yj }对于X和Y的所有可能取值(xi ,yj )都成立， 或记为pij＝pi•p•j，i，j＝1，2，.  ※在实际中，考察两个随机变量的独立性 往往用概率密度和分布律的定义比较方便

§3.4相互独立的随机变量 例1已知(X,Y)的分布律为 (X,Y)(1,10(1,2)(1,3) (2,10 (2,2)(2,3) B (1)求a与应满足的条件， (2)若X与Y相互独立，求a与B的值. 解将(X,Y)的分布律改写为

(X,Y ) ij p (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) 6 1 9 1 18 1 3 1 a b 解 将 (X,Y)的分布律改写为 例1 已知(X,Y)的分布律为 (2) , . (1) ; 若 与 相互独立 求 与 的值 求 与 应满足的条件 a b a b X Y §3.4 相互独立的随机变量

§3.4相互独立的随机变量 2 3 P。=P{X=x} 1 1 1 6 9 18 3 1 2 3 a B 3+a+B 1 1 卫=P=y I- +0 2 9 +B 18 3+a+B (由分布律的性质知a≥0P≥0，号+a+日=l 故a与B应满足的条件是：a≥0，B≥0且a+B= 3

(1)由分布律的性质知 a ³ 0, b ³ 0, 1, 3 2 a  b  . 3 1 故a与b应满足的条件是:a ³ 0, b ³ 0 且a  b  X Y 1 2 3 1 2 6 1 9 1 18 1 3 1 a b { } i i p  P X  x  3 1 a  b 3 1 { } j j p  P Y  y  2 1 a 9 1  b 18 1 a  b 3 2 §3.4 相互独立的随机变量