西安电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 3.2 边缘分布

第三章多维随机变量及其分布 9§3.1二维随机变量 9§3.2边缘分布 9§3.3条件分布 9§3.4相互独立的随机变量 。§3.5两个随机变量的函数的分布 1/45

第三章 多维随机变量及其分布  §3.1 二维随机变量  §3.2 边缘分布  §3.3 条件分布  §3.4 相互独立的随机变量  §3.5 两个随机变量的函数的分布 1/45

第三章多维随机变量及其分布 9§3.1二维随机变量 。§3.2边缘分布 9§3.3条件分布 。§3.4相互独立的随机变量 9§3.5两个随机变量的函数的分布 2145

第三章 多维随机变量及其分布  §3.1 二维随机变量  §3.2 边缘分布  §3.3 条件分布  §3.4 相互独立的随机变量  §3.5 两个随机变量的函数的分布 2/45

§3.1二维随机变量 9定义23：设卫是一个随机试验，它的样本空间是 S={e},设X=X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机 变量，由它们构成的一个向量(X,Y),叫做二维随 机向量，或二维随机变量 ●X(e) Y(e) 3/102

§3.1 二维随机变量  定义2.3： 设E是一个随机试验，它的样本空间是 S＝{e}，设X＝X(e)和Y=Y(e)是定义在S上的随机 变量，由它们构成的一个向量(X,Y)，叫做二维随 机向量，或二维随机变量  e  Y(e)  X(e) 3/102

§3.1二维随机变量 实例1炮弹的弹着点的位置(X,) 就是一个二维随机变量 实例2考查某一地区学前儿童的 发育情况，则儿童的身高H和 体重W就构成二维随机变量 (H,W) 两个分量是有内在联系的，因 此要将X,Y作为整体来研究 ●其性质与X、Y及X,Y之间的关系 均有关，逐个研究X,Y的性质是不 够的。 4/45

§3.1 二维随机变量 实例 1 炮弹的弹着点的位置 (X, Y) 就是一个二维随机变量 实例 2 考查某一地 区学前儿童的 发育情况 , 则儿童的身高 H 和 体重 W 就构成二维随机变量 (H,W)  两个分量是有内在联系的，因 此要将X,Y作为整体来研究  其性质与X、Y及X,Y之间的关系 均有关，逐个研究X,Y的性质是不 够的。 4/45

§3.1二维随机变量 二维随机变量分布函数的定义 定义设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x,y, 二元函数： F化y)=P{X≤x)∩(YSy)},记做P{X≤，Y} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机 变量X和Y的联合分布函数。 5/45

§3.1 二维随机变量 二维随机变量分布函数的定义  定义 设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数x，y， 二元函数： F(x,y)=P{(X≤x)∩(Y≤y)}，记做P{X≤x，Y≤y} 称为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或称为随机 变量X和Y的联合分布函数。 5/45

§3.1二维随机变量 9二维随机变量分布函数的意义 ●将X,Y)看成是平面上随机点的坐标，则分布函数Fxy) 在点化)处的函数值是随机点X,Y)落在以(cy)为顶点的 左下方的无穷矩形区域内的概率 。随机点落在矩形区域的概率： ·P1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F2y2)-FK2y1)-Fx1y2)+Fc1y1) y (x,y) (1,y2) (c2,y2) X≤x,Yy V1 花7 2,y1) 0 X x1 X2 6/45

§3.1 二维随机变量  二维随机变量分布函数的意义  将(X,Y)看成是平面上随机点的坐标，则分布函数F(x,y) 在点(x,y)处的函数值是随机点(X,Y)落在以(x,y)为顶点的 左下方的无穷矩形区域内的概率  随机点落在矩形区域的概率：  P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2 }= F(x2 ,y2 )－F(x2 ,y1 )－F(x1 ,y2 )＋F(x1 ,y1 ) o x y (x, y)  X  x,Y  y y x o x1 x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2 ) (x2 , y1 ) (x1 , y2 ) (x1 , y1 ) 6/45

§3.1二维随机变量 分布函数的性质： 对任意的y,当x2>x1时Fc2y)≥Fc1) 1°Fcy)是变量x,y的不减函数 L对任意的，当y2>y1时Fcy2)≥Fcy1) 2°0sFKy)1且 对任意固定的y,F(一o,y)=0 ↑y ·(边界无限向左，趋于不可能事件) (x,y) 9对任意固定的x,Fx,一o)=0 。(边界无限向下，趋于不可能事件) X≤x,Y4y 9F(-00,-00)=0, 。(边界无限向左下，趋于不可能事件) 9F(0,∞)=1， ·(边界无限向右上，趋于必然事件) 7/45

§3.1 二维随机变量 分布函数的性质： 1°F(x,y)是变量x，y的不减函数 2°0≤F(x,y)≤1且  对任意固定的y，F(－∞，y)＝0  (边界无限向左，趋于不可能事件)  对任意固定的x，F(x, －∞)＝0  (边界无限向下，趋于不可能事件)  F(－∞, －∞)＝0，  (边界无限向左下，趋于不可能事件)  F(∞, ∞)＝1，  (边界无限向右上，趋于必然事件) 对任意的y，当x2>x1时F(x2 ,y)≥F(x1 ,y) 对任意的x，当y2>y1时F(x,y2 )≥F(x,y1 ) 7/45 o x y (x, y)  X  x,Y  y

§3.1二维随机变量 3 F(x3y)=F(x+0y),F(x,y)=F(xy+0) ·Fxy)关于x右连续，关于y也右连续 4°对于任意点（化1y1),(化2y2),xX2,y12, 下述不等式成立： ●FK2y2)-F2y1)-F(x1y2)+Fx1y1)≥0 ·矩形区内的概率，及概率非负性” 2,2) () 2,y) x 58/45

§3.1 二维随机变量  3°F(x,y)＝F(x+0,y)，F(x,y)＝F(x,y+0)  F(x,y)关于x右连续，关于y也右连续  4°对于任意点(x1 ,y1 )，(x2 ,y2 )，x1<x2，y1<y2， 下述不等式成立：  F(x2 ,y2 )－F(x2 ,y1 )－F(x1 ,y2 )＋F(x1 ,y1 )≥0  矩形区内的概率，及概率非负性 8/45 y x o x1 x2 y1 y2 (X, Y ) (x2 , y2 ) (x2 , y1 ) (x1 , y2 ) (x1 , y1 )

§3.1二维随机变量 9推广到n维： 。定义：一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S= {e},设X=X(e),X2=Xz(e),.,Xn=Xn(e)是定义在S 上的随机变量，由它们构成的一个维向量X1,X2,.,X) 叫做n维随机向量，或n维随机变量 。分布函数 。定义设(X,X2,X)是n维随机变量，对于n个任意实数 1,2,xm,n元函数： Fc1yX2,.,xn=P{X1≤x1,X2≤x2,.,Xn≤xn} ●j 称为维随机变量（区1，X2,X)的分布函数，或称为随机 变量X1,X2,.,Xn的联合分布函数。 。具有同二维类似的性质。 9145

§3.1 二维随机变量  推广到n维：  定义：一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S＝ {e}，设X1＝X1 (e)，X2＝X2 (e)，.，Xn ＝Xn (e)是定义在S 上的随机变量，由它们构成的一个n维向量(X1 ,X2 , .,Xn ) 叫做n维随机向量，或n维随机变量  分布函数  定义 设(X1 ,X2 , .,Xn )是n维随机变量，对于n个任意实数 x1，x2，.，xn，n元函数：  F(x1，x2，.，xn )=P{ X1x1 ,X2x2 , .,Xnxn }  称为n维随机变量(X1 ,X2 , .,Xn )的分布函数，或称为随机 变量X1 ,X2 , .,Xn的联合分布函数。  具有同二维类似的性质。 9/45

§3.1二维随机变量 二维离散型的随机变量： ● 定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量 9二维离散型随机变量的分布律： 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为（心y),i, j=1,2, 。记PX=x,Y=y=P,i,广=1,2，则由概率的定义有： P≥0，∑∑P=1 则称PX=xY=y}=P,i,广=1,2，.为二维离散型随机变 量(X,Y)的分布律，或随机变量X和Y的联合分布律。 10/45

§3.1 二维随机变量  二维离散型的随机变量：  定义：若二维随机变量(X,Y)全部可能取到的不相同的值 是有限对或可列无限多对，则称(X,Y)是离散型随机变量  二维离散型随机变量的分布律：  设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取的值为(xi ,yj )，i， j＝1,2,.,  记P{X=xi ,Y=yj }=pij，i，j＝1,2,.,则由概率的定义有：  pij≥0， ＝1  则称P{X=xi ,Y=yj }=pij，i，j＝1,2,.为二维离散型随机变 量(X,Y)的分布律，或随机变量X和Y的联合分布律。     i 1 j1 ij p 10/45