西安电子科技大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第六章 样本及抽样分布 6.3 抽样分布

第六章样本及抽样分布 9§6.1随机样本 9§6.2直方图和箱线图 9§6.3抽样分布 2/51

第六章 样本及抽样分布  §6.1 随机样本  §6.2 直方图和箱线图  §6.3 抽样分布 2/51

§6.3抽样分布 ⊙利用样本来进行统计推断或估计，往往不是直接使用样本本 身，而是针对不同的问题构造样本的适当函数，利用这些样 本函数进行统计推断 统计量： 定义设X1,X2,Xn是来自总体X的一个样本，gX1,X2.Xm) 是X1,X2,Xm的函数，若g中不含未知参数，则称 g(X1,X2,X)是一统计量 ●显然统计量是一随机变量，因其是随机变量X1,X2,X 的函数 9设x1,x2,xn是相应于X1,X2.,Xm的一组样本值，则称g1, x2,xn)是g(X1,X2.,Xm)的观察值 3/51

§6.3 抽样分布  利用样本来进行统计推断或估计，往往不是直接使用样本本 身，而是针对不同的问题构造样本的适当函数，利用这些样 本函数进行统计推断 统计量：  定义 设X1 ,X2 ,.,Xn是来自总体X的一个样本，g(X1 ,X2 ,.,Xn ) 是X1 ,X2 ,.,Xn的函数，若g中不含未知参数，则称 g(X1 ,X2 ,.,Xn )是一统计量  显然统计量是一随机变量，因其是随机变量X1 ,X2 ,.,Xn 的函数  设x1 , x2 ,., xn是相应于X1 ,X2 ,.,Xn的一组样本值，则称g(x1 , x2 ,., xn )是g(X1 ,X2 ,.,Xn )的观察值 3/51

§6.3抽样分布 2.几个常用统计量（样本矩）的定义 设X1,X2,Xm是来自总体的一个样本 x,x2,.飞n是这一样本的观察值 它反映了总体均值 =1 X 的信息 (1)样本平均值 其观察值 1 它反映了总体方差 的信息（除1是总体方差的 n1 无偏估计；除以n,则样本方差比 (2)样本方差 总体方差的值偏小) 1 n-1 (-)2= i1 其观察值s乃= 1 x,-= n-1i n-1 -2o

2. 几个常用统计量(样本矩)的定义 , , , . , , , , 1 2 1 2 是这一样本的观察值 设 是来自总体的一个样本 n n x x x X X X   (1)样本平均值 ; 1 1   n i Xi n X (2)样本方差 . 1 1   n i xi n 其观察值 x 它反映了总体均值 的信息 它反映了总体方差 的信息(除n-1是总体方差的 无偏估计；除以n，则样本方差比 总体方差的值偏小) §6.3 抽样分布     n i n Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 . 1 1 1 2 2             n i Xi nX n 其观察值     n i n xi x n s 1 2 2 ( ) 1 1 . 1 1 1 2 2             n i xi nx n 4/51

§6.3抽样分布 ③样本k阶原点矩A=之X,k=12, n i=1 其观察值a:=之女，k=1,2. n (4)样本k阶中心矩 B=12(X,-X,k=2,3. n i=1 共观察值：=2，-x),k=23,. n i=1 5/51

(3) 样本 k 阶(原点)矩 , 1, 2, ; 1 1      X k n A n i k k i 其观察值 , 1, 2,. 1 1     x k n a n i k k i (4)样本 k 阶中心矩 ( ) , 2, 3, ; 1 1       X X k n B n i k k i 其观察值 ( ) , 2, 3, . 1 1       x x k n b n i k k i §6.3 抽样分布 5/51

§6.3抽样分布 样本矩具有下列性质： 性质设总体X的期望E(X)=4,方差D(X)=o2, (X1,X2,Xm)为来自总的样本则有： (1)E(X)=4 (2)D(F)=g (3)E(B,)=”-1a2 (4)E(S2)=o2 证明 EX=空x)2x)2 6/51

样本矩具有下列性质: 性质 2 2 2 2 2 1 2 2 (4) ( ) 1 (3) ( ) (2) ( ) (1) ( ) ( , , , ) , : ( ) , ( ) ,              n n E S n n E B n D X E X X X X X X E X D X 为来自总体 的样本 则 有 设总体 的期望 方 差  证明            n i n i i n i i n E X n X n E X E 1 1 1 1 ( ) 1 ) 1 (1) ( ) ( §6.3 抽样分布 6/51

§6.3抽样分布 a0=2=2x2o=r ；1 i=1 i=1 ③)E()=E2X-1=2EX)-E(X) i=1 =1(D(X)+(E(X,))-(DX)+(E(XP) =2a2+)-(。2+)="1。 ④E(S)=E(2”1)=”=o 7/51

2 1 2 2 1 2 1 1 1 ( ) 1 ) 1 (2) ( ) (   n n D X n X n D X D n i n i i n i   i         ( ) ( ) 1 ] 1 (3) ( ) [ 2 1 2 1 2 2 2 E X E X n X X n E B E n i i n i n   i       ( ( ) ( ( )) ) ( ( ) ( ( )) ) 1 2 2 1 D X E X D X E X n i n i   i     2 2 2 1 2 2 1 ) 1 ( ) ( 1      n n n n n i         2 2 2 2 ( ) 1 ) 1 (4) ( ) (      n  n E Bn n n B n n E S E §6.3 抽样分布 7/51

§6.3抽样分布 性质若总体X的k矩E(X)记成4存在， 则当n→o时，A4P→4，k=1,2,. 证明因为X1,X2,Xn独立且与X同分布， 所以X,X,X独立且与X*同分布， 故有E(X)=E(X)=.=E(X)=E(X)=4 8/51

证明 , , , , 因为X1 X2  Xn 独立且与X 同分布 , , , , 所以 X1 k X2 k  Xn k 独立且与X k同分布 k k k n k k 故 有E(X1 )  E(X2 )  E(X )  E(X )   , , 1, 2, . ( ) , n   A  k   X k E X k P k k k   则 当 时 性质 若总体 的 阶 矩 记 成 存 在 §6.3 抽样分布 8/51

§6.3抽样分布 再根据第五章辛软定理知 A=2XP4,k=12,时 n =1 由第五章关于依概率收敛的序列的性质知 8(A1,A2,.,A)P→g(41,42,.344)》 其中g是连续函数 以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的 理论根据。 9/51

由第五章关于依概率收敛的序列的性质知 ( , , , ) ( , , , ) 1 2 1 2 k P g A A  Ak g     其中g是连续函数 , 1, 2, ; 1 1       X k n A k P n i k k i  以上结论是下一章所要介绍的矩估计法的 理论根据. §6.3 抽样分布 再根据第五章辛钦定理知 9/51

§6.3抽样分布 93.经验分布函数 ●与总体分布函数Fx)相应的统计量 设X1,X2.,Xm是总体F的一个样本，用Sx)表示 X,X2,.,Xm中不大于x的随机变量的个数，定义经 验函数为 F(x)=S(x)/n,-o0<x<oo ·这与分布函数的含义是相似的，不超过x的变量的个数 占变量总数的概率，就对应于随机变量取值落在一∞到 x内的概率 。这和直方图中累积频率对分布函数的描述是相似的1o51

§6.3 抽样分布  3. 经验分布函数  与总体分布函数F(x)相应的统计量  设X1 ,X2 ,.,Xn是总体F的一个样本，用S(x)表示 X1 ,X2 ,.,Xn中不大于x的随机变量的个数，定义经 验函数为 Fn (x)=S(x)/n，－∞<x<∞  这与分布函数的含义是相似的，不超过x的变量的个数 占变量总数的概率，就对应于随机变量取值落在－∞到 x内的概率  这和直方图中累积频率对分布函数的描述是相似的 10/51

§6.3抽样分布 对于一个样本值，经验分布函数F)的观察值（仍 以F)表示)是很容易得到的，例如： 设X1,X2,X3是来自于总体F的一个简单随机样本 9(1)设样本的一组样本值为1,2,3，则经验分布 函数F3(心)的观察值为 「0，若x<1 9F3x)= 1/3,若1≤x<2 2/3,若2≤x<3 1,若x≥3 11/51

§6.3 抽样分布  对于一个样本值，经验分布函数Fn (x)的观察值(仍 以Fn (x)表示)是很容易得到的，例如：  设X1 ,X2 ,X3是来自于总体F的一个简单随机样本  (1)设样本的一组样本值为1，2，3，则经验分布 函数F3 (x)的观察值为  F3 (x)＝              1, 3 2 / 3, 2 3 1/ 3, 1 2 0, 1 x x x x 若 若 若 若 11/51