《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第三章 多维随机变量及其分布 3.5 两个随机变量的函数的分布

第五节两个随机变量的品数的分布 一、Z=X+的分布 二、Z=max{X,乃，Z=min{X,乃的分布 三、Z=Y/X的分布 2024年8月27日星期二 1 目录○ 、上页 (下页 返回

2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第五节 两个随机变量的函数的分布 一、Z=X+Y的分布 二、 Z=max{X,Y} , Z=min{X,Y} 的分布 三、 Z=Y / X 的分布

问题的引入 有一大群人，令X和Y分别表示一个人的 年龄和体重，Z表示该人的血压，并且已知Z与 X,Y的函数关系Z=g(X,Y),如何通过X,Y的 分布确定Z的分布. 为了解决类似的问题下面 我们讨论随机变量函数的分布. 2024年8月27日星期二 2 目录今上页>（下页 返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 . , ( , ), , , , , 分布确定 的分布 的函数关系 如何通过 的 年龄和体重 表示该人的血压 并且已知 与 有一大群人 令 和 分别表示一个人的 Z X Y Z g X Y X Y Z Z X Y = 为了解决类似的问题下面 我们讨论随机变量函数的分布. 问题的引入

一、Z=X+Y的分布 例：己知X和Y的联合分布律为 X 0 0 0.4 0.1 0.2 0.3 求Z=X+Y的分布律。 解：由题意知，Z=X+Y的分布律为 Z=X+Y0 12 P0.40.30.3 2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 、返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 一、Z=X+Y的分布 例：已知X和Y的联合分布律为 X Y 0 1 0 0.4 0.1 1 0.2 0.3 求 Z=X+Y的分布律。 解：由题意知， Z=X+Y的分布律为 0 1 2 0.4 0.3 0.3 Z X Y P = +

例设随机变量(X,)的分布律为 X -2 -1 0 1 1 3 12 12 12 1 2 1 0 2 12 12 2 2 3 0 12 12 求(1)X+Y,(2)X-Y的分布律 2024年8月27日星期二 4 目录○ 、上页> 下页 返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 X Y − 2 − 1 0 − 1 2 1 3 12 3 12 1 12 1 0 12 1 12 2 12 2 0 12 2 例 设随机变量 (X,Y)的分布律为 求 (1)X + Y, (2) X −Y 的分布律

解 X -2 -1 0 1 1 3 -1 12 12 12 1 2 1 0 等价于 2 12 12 2 3 2 0 12 12 概率 1 1 3 2 1 22 12 12 12 12 12 12 12 (X,Y) 1,-2)(4,-l0-10 2024年8月27日星期二 5 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 概率 (X,Y ) (−1,−2) 12 1 (−1,−1) 12 1 (−1,0) 12 3       −2 2 1 , 12 2       −1 2 1 , 12 1 (3,−2) 12 2 (3,0) 12 2 X Y − 2 − 1 0 − 1 2 1 3 12 3 12 1 12 1 0 12 1 12 2 12 2 0 12 2 解 等价于

概率 1 1 3 1 2 2 2 12 12 12 12 12 12 (X, (-1,-2)(-1,-10-1,0) （2-2g-a-230 X+-3 -2-1 3 2 13 5 3 X-Y 1 01 2 53 2 2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 概率 (X,Y ) (−1,−2) 12 1 (−1,−1) 12 1 (−1,0) 12 3       ,−2 2 1 12 2       ,−1 2 1 12 1 (3,−2) 12 2 (3,0) 12 2 X +Y − 3 − 2 − 1 2 3 − 2 1 − 1 3 X −Y 1 0 1 2 5 2 3 5 3

所以X+Y,X-Y的分布律分别为 X+Y-3 3 -2-1 1 13 2 2 2 1-12 3 2 1 2 2 P 12 12 12 12 12 X-Y 0 1 5-2 3-2 5 3 P 1 4 2 1 2 2 12 12 12 12 12 2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 X +Y P − 3 − 2 − 1 2 3 − 2 1 − 1 3 12 1 12 1 12 3 12 2 12 1 12 2 12 2 X −Y P 0 1 2 5 2 3 5 3 12 4 12 1 12 2 12 1 12 2 12 2 所以 X + Y, X −Y 的分布律分别为

结论 若二维离散型随机变量的联合分布律为 P{X=x,Y=yj}=p,i,j=1,2,., 则随机变量函数Z=g(X,Y)的分布律为 P(Z=)=P(g(X,Y)=Zk) =∑Pg k=1,2,. Zk=g(xiyj) 2024年8月27日星期二 8 目录○ 上页 下页 返回」

2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 结论 若二维离散型随机变量的联合分布律为 P{X = x ,Y = y } = p , i, j = 1,2,  , i j ij 则随机变量函数Z = g(X,Y)的分布律为 { } { ( , ) } k k P Z = z = P g X Y = z , 1,2, . ( ) =  =  = p k k i j z g x y ij

例 设两个独立的随机变量X与Y的分布律为 X 13 Y 2 4 0.3 0.7 P 0.6 0.4 求随机变量Z=X+Y的分布律. 解因为X与Y相互独立，所以 P(X=xi,Y=yi}=P(X=xi)P(Y=yj}, 2 4 得 1 0.18 0.12 3 0.42 0.28 2024年8月27日星期二 9 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 例 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布律为 X PX 1 3 0.3 0.7 Y PY 2 4 0.6 0.4 求随机变量 Z=X+Y 的分布律. { , } { } { }, i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y 得 Y X 2 4 1 3 0.18 0.12 0.42 0.28 解 因为 X 与 Y 相互独立, 所以

P (X,Y)Z=X+Y 24 0.18 (1,2) 3 1 0.18 0.12 可得 0.12 (1,4) 5 30.420.28 0.42 (3,2) 5 0.28 (3,4) 7 Z-X+Y 3 5 7 所以 P 0.18 0.54 0.28 2024年8月27日星期二 10 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 可得 (X,Y ) (3,4) (3,2) (1,4) (1,2) P 0.18 0.12 0.42 0.28 Z = X +Y 3 5 5 7 所以 Z = X +Y P 3 5 7 0.18 0.54 0.28 Y X 2 4 1 3 0.18 0.12 0.42 0.28