《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 随机变量及其分布 2.4 随机变量函数的分布

第四节 随机变量岛数的分布 己知随机变量的分布 随机变量函数的分布 2024年8月27日星期二 1 目录○ 上页>下页 返回

2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 第四节 随机变量函数的分布 已知随机变量的分布 随机变量函数的分布

离散型随机变量函数的分布 例：若随机变量X的分布律为 X|-1012 1 111 Pk 188 注意 求：Y=2X+1和Z=X2的分布律 C合并) 解： y-1 13 Z 0 1。 1 1 Pk 2488 Pk 4 28 2024年8月27日星期二 2 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 例：若随机变量X的分布律为 1 0 1 2 1 1 1 1 2 4 8 8 − k X p 求： Y X = + 2 1 和 的分布律。 2 Z X = −1 1 3 5 k Y p 1 2 1 4 1 8 1 8 解： 0 1 4 k Z p 1 4 1 1 2 8 + 1 8 离散型随机变量函数的分布 注意 合并

连续型随机支量函数的分布 设连续型随机变量X的概率密度为f)。y=g 为一个连续函数，求随机变量=gX的概率密度。 一般方法： ()求Y的分布函数Fy) 根据分布函数的定义 F,(y) P(Y<y)=P(g(X)<y) =P(X∈{xg(x)<y) (2)对F)求导，得到fy) 解不等式转化 f(y)=F(y) 为求关于X的概率 2024年8月27日星期二 不八工火T回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 连续型随机变量函数的分布 设 连续型随机变量X 的概率密度为 f (x)。y = g(x) 为一个连续函数，求随机变量Y=g(X)的概率密度。 (1) 求Y的分布函数 FY (y) ( ) F y Y 根据分布函数的定义 P Y y ( )  =  P g X y ( ( ) ) (2) 对FY (y) 求导，得到 fY (y) 一般方法： ( ) ( ) Y Y f y F y =  =   P X x g x y ( ( ) )   解不等式转化 为求关于X的概率

例：若X~UU(0,1),求Y=2X+1的概率密度。 解：由题意可知，X的概率密度为 f(x)= [1,0<x<1, 10, 其它 分别记X,Y的分布函数为Fx),Fy)。 BO)-PY5-Px1-xE22 将Fy)关于y求导： 升洁卡 其它. 2024年8月27日星期二 目录○ 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 例：若X～U(0,1)，求Y=2X+1的概率密度。 解：由题意可知， X的概率密度为 1, 0 1, ( ) 0, x f x    =   其它. 分别记X，Y的分布函数为FX (x) ， FY (y)。 F y P Y y Y ( ) =    = +  P X y 2 1  1 2   − =      y P X 1 ( ) 2 − = X y F 将 FY (y)关于y求导： ( ) Y f y 1 1 2 2      − − =          X y y f 1 1 1 , 0 1, 2 2 0,  y −     =    其它. 1 , 1 3, 2 0, y     =    其它

例：设正方形边长X的概率密度为 2x,0<x<1 fx(x)= 其它 求它的面积Y的概率密度。 0 解：当0时，F(y)=PY<y以=P{X2<以=0 →(y)=Fy)=0 当20时，F)=P{X2≤y=F(N)-F(←) →-阿 25×布0610cy<1 其它 0, 其它 0 2024年8月27日星期 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 例： 设正方形边长 X 的概率密度为 求它的面积 Y 的概率密度。 ( ) 2 , 0 1 0,    =   X x x f x 其它 F y P Y y Y ( ) =      2 =  P X y 1 2 0, 0 2 ,  1    =    y y y 其它 1, 0 1 0,    =   y 其它 解：当 y<0时， = 0  = = ( ) ( ) 0  Y Y f y F y 当 y≥0时，   2 F y P X y Y ( ) =  = − − ( ) ( ) F y F y X X ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2    = − − −      Y X X f y f y f y y y

例：若连续型随机变量X的概率密度为fx)。 求Y=X的概率密度。 解：当 (上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 例：若连续型随机变量X的概率密度为fX (x) 。 求 Y X = 的概率密度 。 解：当 y<0时， F y P Y y P X y Y ( ) 0 =  =  =     ( ) ( ) 0 = =  Y Y 所以 f y F y 当 y≥0时， F y P Y y Y ( ) =    =  P X y   = −   P y X y   = − − ( ) ( ) F y F y X X 将 FY (y)关于y求导： f y f y f y Y X X ( ) ( ) ( ) = + − ( ) ( ), 0, ( ) 0, 0.  + −  =    X X Y f y f y y f y y 综上

例：设圆面积X~U[O,π]，求圆半径Y的概率密度. 解：由翅设，r-厚内层到 0, 其它 =P对WN 当y<0时，F,(y)=0→(y)=0 当20时，F(y)=P{X<πy}=Fx(πy） 所以人(y)=∫x(πy2)2πy x2π，0≤zy2≤π_∫2y, 0≤y≤1 =π 0, 其它 0, 其它 2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 例： 设圆面积 X U~ 0, ,    求圆半径 Y 的概率密度. 解：由题设， ( )   1 , 0, , 0,    = =    X X x Y f x    其它 所以 ( ) ( ) 2 2 Y X f y f y y =   F y P Y y Y ( ) =    X P y      =        ( ) 0 Y  = f y ( ) 2 = F y X  1 2 2 , 0 0,      =       y y  其它 2 , 0 1 0,    =   y y 其它 当 y<0时， ( )   2 当 y≥0时， F y P X y Y =   ( ) = 0 F y Y

定理：若随机变量X和随机变量Y=)的密度函数分 别为fxc),fyy),当gc)是严格单调函数，则 f(y)=fx[(G(y川G'(y) 其中x=G(y)为y=g(x)的反函数 2024年8月27日星期二 8 目录○ (上页下页 返回

2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 ( ) [( ( )] ( ) Y X f y f G = y G y  定理： 若随机变量X和随机变量Y=g(X)的密度函数分 别为 f X (x), f Y (y), 当 g(x) 是严格单调函数，则 其中 为 的反函数 x G y y g x = = ( ) ( )

例：若X~N(4,σ2)，求Y=aX+b(a≠0)的概率密度。 解：随机变量X的概率密度为 1 （x-u)2 f(x)= -e 2.2 √2元0 ,-00 下页 返回

2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 例：若 X N( , )   2 ，求Y=aX+b(a≠0)的概率密度 。 解：随机变量X的概率密度为 2 2 ( ) 2 1 ( ) e , , 2 x f x x     − − = −   +  由 y g x ax b = = + ( ) ( ) − = = y b x G y a 可得： 由定理可得Y=aX+b(a≠0)的概率密度为 1 ( ) ,   − =  −   +     Y X y b f y f y a a 即 2 2 ( ) 2 1 1 ( ) e 2π − − − =   y b a Y f y a    2 2 [ ( )] 1 2( ) e , 2π − + − = −   +  y b a a y a    即 2 Y N a b a ~ ( , ( ) )   +

定理：正态分布的线性函数仍服从正态分布. 设X~N(4,o2),Y=aX+b(a≠0)，则 Y~N(au+b,(ao)2) 推论 若xu则。w0) 正态分布 的标准化 2024年8月27日星期二 10 目录 返回○

2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 2 2 ~ ( , ), ( 0), ~ ( , ( ) ) + X = +  Y N a N Y aX b b a   a   设 则 2 ~ ( , ), ~ (0,1) X − X N N     若 则 推论: 定理： 正态分布的线性函数仍服从正态分布. 正态分布 的标准化