《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第三章 多维随机变量及其分布（习题课）

多雅随机变量及其分市 定义：设随机试验的样本空间为2={ω}： X1(o),X2(o),.,Xn(o)是定义在样本空间2上的随机变量， 则称(X,X2,X)为一个n维随机向量.亦称n维随机变量. n维随机变量(X1,X2,.,Xn)的分布函数定义为： F(x,x2,.xn)=P{X1≤x,X2≤x2,.,Xn≤xn} 上式也称为随机变量X1,X2,.,Xn的联合分布函数。 2024年8月27日星期二 1 目录○ 、上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 1 目录 上页 下页 返回 多维随机变量及其分布 定义：设随机试验的样本空间为Ω={ω}. 是定义在样本空间Ω上的随机变量， 则称 为一个n维随机向量.亦称n维随机变量． 1 2 ( ), ( ), , ( ) X X X   n 1 2 ( , , , ) X X Xn F x x x P X x X x X x ( , , ) , , , 1 2 1 1 2 2 n n n =      n维随机变量 ( , , , ) X X X 1 2 n 的分布函数定义为： 上式也称为随机变量 X X X 1 2 , , , n 的联合分布函数

(x,y) F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}表示 (X,)落在阴影部分（无边 矩形区域)中的概率。 y P{x<X≤x2,y<Y≤2} y2 =F(x2,2)-F(x2,y) +F(x,y)-F(x1,2) X X2 x 2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 2 目录 上页 下页 返回 F x y P X x Y y ( , ) , =     y o x ( , ) x y y o x ( , ) x y 表示 (X, Y)落在阴影部分(无边 矩形区域)中的概率。 y o 2 x 2 y 1 y 1 x x y o 2 x 2 y 1 y 1 x x 1 2 1 2 P x X x y Y y { , }     2 2 2 1 = − F x y F x y ( , ) ( , ) 1 1 1 2 + − F x y F x y ( , ) ( , )

分布函数的性质： (I).Fx,y)分别关于x,y单调非降。 (2).Fx,y)分别关于x,y右连续。 (3).0≤Fx,y)1。 (4).F(-oy)=lim F(x,y)=0 F()=lim F()=0 F(-co,-oo)=lim F(x,y)=0 r-d y-→-00 F(+o0,+o)=lim F(x,y)=1 y→+o0 2024年8月27日星期二 3 目录○ 、上页 下页 、返回

2024年8月27日星期二 3 目录 上页 下页 返回 分布函数的性质： (1). F(x,y)分别关于x,y单调非降。 (2). F(x,y)分别关于x,y右连续。 (3). 0≤F(x,y)≤1。 (4). ( , lim , 0 ) ( ) →− − = = x F y F x y ( , lim , 0 ) ( ) →− − = = y F x F x y ( , lim , 0 ) ( ) →− →− − − = = x y F F x y ( , lim , 1 ) ( ) →+ →+ + + = = x y F F x y

边缘分布 由二维随机变量(X,)的分布函数Fx,y),可以得到它的 两个分量X和Y的分布函数为 Fx(x)=P{X≤x=P{X≤x,Y≤+∞}=F(x,+o) F(y)=P{Y≤y}=P{X≤+oo,Y≤yF(+o,y) 分布函数F(x)和Fy)分别称为二维随机变量(X,Y)关于 X和Y的边缘分布。 2024年8月27日星期二 4 目录 (上页下页 返回

2024年8月27日星期二 4 目录 上页 下页 返回 边缘分布 由二维随机变量(X, Y)的分布函数F(x,y),可以得到它的 两个分量X和Y的分布函数为 F x X ( ) =  P X x=   + P X x Y  , = + F x( , ) F y Y ( ) =  P Y y=  +  P X Y y  , = + F y ( , ) 分布函数FX (x)和FY (y)分别称为二维随机变量(X, Y)关于 X和Y的边缘分布

二维离散型随机变量 定义：如果二维随机变量(X,)的所有可能取值是有 限对或可数无限对，则称(X,)是二维离散型随机变量。 P(X=x,Y=yj)=Pi, X y y2 y i,j=1,2,. X P11 P12 pu 称此表为二维离散型 X2 P21 P22 P2j 随机变量(X,)的分布 律，或称为随机变量X Pa P12 Pi 和Y的联合分布律。 2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 5 目录 上页 下页 返回 二维离散型随机变量 定义：如果二维随机变量(X, Y)的所有可能取值是有 限对或可数无限对，则称(X, Y)是二维离散型随机变量。 1 2 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j j j i i i ij y y y x p p p x p p p x p p p X Y P X x Y y p ( , ) , = = = i j ij i j , 1,2, = 称此表为二维离散型 随机变量(X, Y)的分布 律，或称为随机变量X 和Y的联合分布律

二维离散型随机变量 X y y2 y 的分布律的性质： X Pu P12 . pu X, P21 P22 ()0≤P,≤1， Pa Pi .P (2)∑P=1 2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 6 目录 上页 下页 返回 1 2 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j j j i i i ij y y y x p p p x p p p x p p p X Y 二维离散型随机变量 的分布律的性质： ( ) , 2 1.  ij = i j p (1 0 1, )  ij p

二维离散型随机变量的边缘分布律 y2 y 于是 P12 pu X2 .X X2 P21 P22 Pzj P2 PP. . Pa Pi2 . P P y2 y P2 p Pp1p2.p p.=P{X=x}=∑Pi=l2,. 二维离散型随机变量的边 缘分布是一维离散型分布 P,=P{=y}=∑Pj=12. 2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 7 目录 上页 下页 返回 二维离散型随机变量的边缘分布律 1 2 1. 2. . . . . . i i X x x x P p p p 1 2 .1 .2 . . . . . j j Y y y y P p p p 1 2 1 11 12 1 2 21 22 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . j j j i i i ij y y y x p p p x p p p x p p p X Y P p1. p2.i. p . . P p.1 .2 p . j . p . 二维离散型随机变量的边 缘分布是一维离散型分布   1 , 1,2, i i ij j p P X x p i +  = = = = =    1 , 1,2, j j ij i p P Y y p j +  = = = = =  于是

离散型随机变量的条件分布 若(X)是离散型随机变量，那么对一切使得P{y=y,}>0 的y,我们把己知Y=y的条件下X的条件分布律定义为： -坊-w-g12 pY=y) P.i 类似地，当P{X=x}>0时，己知X=x,的条件下Y的条件分 布律定义为： 收-2食-2 P(X=x) Pi. 2024年8月27日星期二 8 目录] 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 8 目录 上页 下页 返回 离散型随机变量的条件分布 若(X, Y)是离散型随机变量，那么对一切使得   0 P Y y =  j 的 yj ,我们把已知Y=yj的条件下X的条件分布律定义为：       , | , 1,2, i j ij i j j j P X x Y y p P X x Y y i P Y y p = = = = = = = =       , | , 1,2, i j ij j i i i P X x Y y p P Y y X x j P X x p  = = = = = = = = 类似地，当 时，已知X=xi的条件下Y的条件分 布律定义为： P X x  =  i  0

二维连续型随机变量 定义：如果存在非负可积函数x,y),使得对于任意实 数x,y,有 F(x,y)=」∫fu,yddv 则称(X,)是二维连续型随机变量。x,y)称为(X,Y)的 概率密度。 性质：(1) f(x,y)≥0 (2) (x.yXixdy-F(+)=1 (3) 如果(x,y)是x,y)的连续点，有 82F(x,y) Oxoy =f(x,y) 2024年8月27日星期二 9 目录○ 上页 下页 返回

2024年8月27日星期二 9 目录 上页 下页 返回 二维连续型随机变量 定义：如果存在非负可积函数f(x,y),使得对于任意实 数x,y，有 ( , ) ( , )d d y x F x y f u v u v − − =   则称(X, Y)是二维连续型随机变量。f(x,y)称为(X, Y)的 概率密度。 性质：(1) f x y ( , ) 0  (2) ( , )d d ( , ) 1 + + − − = + + =   f x y x y F (3) 2 ( , ) ( , )  =   F x y f x y x y 如果(x,y)是f(x,y)的连续点，有

(4)P((X.Y)D)=f(x.y)dxdy 】 (5)P{X=x,Y=%}=P{X=x0}=P{Y=o}=0 2024年8月27日星期二 10 目录○ 上页>下页○ 返回

2024年8月27日星期二 10 目录 上页 下页 返回 (4) ( , ) ( , )d d  =  D P X Y D f x y x y (5) P X x Y y P X x P Y y  = = = = = = = 0 0 0 0 , 0     