《场论与复变函数》课程教学资源（知识扩展）柯西-黎曼方程的极坐标形式

柯西一黎曼方程的极坐标形式 我们知道，判断函数)在点z=x+y处的可导性的柯西黎曼方程为： Ux=Vy Uy=-Vx (1) 这里U和V分别是复变函数∫的实部函数和虚部函数。 复数z=x+iy极坐标形式下有： x=rcose,y=rsine (2) 这里，x和y都是r和8的函数。 因此，U和V分别对r和日求偏导，根据二元函数求导的链式法则，可得： auau ax auay au au ax +那器 3 0x or dy ar' ae 0x00 ay ae 即： U Uxcose Uysine, Ue =-Uxrsine +Uyrcose (4 类似的，有 V=Vcose +v,sine, Ve =-Vrsine +vrcose 将(1)两式代入(5)式，可得 V=-Uycose +Uxsine, Ve Uyrsine Uxrcose (6 比较(4)(6)两式，可得： rUr=Ver rVr=-Ue (7八 (7)式即为柯西黎曼方程的极坐标形式。 并且，在极坐标下，关于导数有如下定理： 定理：设函数 f(z)=U(r,0)+iv(r,0) 在非零点zo=roi8o的某个邻域内处处有定义，并且 (1)U和V关于r和8的一阶偏导数在该邻域内处处存在： (2) 这些偏导数在点(ro,o)连续且满足条件rUr=Va,rV,=-Ua 那么，f'(z)存在，其值为 f'(zo)=e-i0(U,+iv) (8) 其中(8)式右边在(ro,)取值

柯西-黎曼方程的极坐标形式 我们知道，判断函数 f(z)在点ݖ ൌ ݔ݅ ൅ ݕ处的可导性的柯西‐黎曼方程为： ܷ௫ ൌ ܸ௬, ܷ௬ ൌ െܸ௫                               (1) 这里 U 和 V 分别是复变函数 f 的实部函数和虚部函数。 :极坐标形式下有ݕ݅ ൅ ݔ ൌ ݖ复数 (2                             (ߠ݊݅ݏݎ ൌ ݕ ,ߠݏ݋ܿݎ ൌ ݔ 这里，ݔ和 y 都是ݎ和ߠ的函数。 因此，U 和 V 分别对ݎ和ߠ求偏导，根据二元函数求导的链式法则，可得： డ௎ డ௥ ൌ డ௎ డ௫ డ௫ డ௥ ൅ డ௎ డ௬ డ௬ డ௥ ,         డ௎ డఏ ൌ డ௎ డ௫ డ௫ డఏ ൅ డ௎ డ௬ డ௬ డఏ                 (3) 即：                    ܷ௥ ൌ ܷ௫ܿߠݏ݋ܷ ൅ ௬ݏ݊݅ߠܷ ,ఏ ൌ െܷ௫ݏݎ݊݅ߠܷ ൅ ௬ݎܿߠݏ݋) 4) 类似的，有               ܸ௥ ൌ ܸ௫ܿߠݏ݋ܸ ൅ ௬ݏ݊݅ߠܸ ,ఏ ൌ െܸ௫ݏݎ݊݅ߠܸ ൅ ௬ݎܿߠݏ݋) 5) 将（1）两式代入(5)式，可得              ܸ௥ ൌ െܷ௬ܿߠݏ݋ܷ ൅ ௫ݏ݊݅ߠܸ ,ఏ ൌ ܷ௬ݏݎ݊݅ߠܷ ൅ ௫ݎܿߠݏ݋) 6) 比较（4）（6）两式，可得： (7                             (ࣂࢁെ ൌ ࢘ࢂ࢘ ,ࣂࢂ ൌ ࢘ࢁ࢘ (7)式即为柯西‐黎曼方程的极坐标形式。 并且，在极坐标下，关于导数有如下定理： 定理：设函数 ݂ሺݖሻ ൌ ܷሺݎ ,ߠሻ ൅ ܸ݅ሺݎ ,ߠሻ 在非零点ݖ ଴ൌ ݎ௜݁଴ఏబ的某个邻域内处处有定义，并且 （1） U 和 V 关于ݎ和ߠ的一阶偏导数在该邻域内处处存在； ࣂࢁെ ൌ ࢘ࢂ࢘ ,ࣂࢂ ൌ ࢘ࢁ࢘ ሻ连续且满足条件଴ߠ ,଴ݎ这些偏导数在点ሺ） 2（ 那么，ࢌᇱ ሺࢠ૙ሻ存在，其值为 ᇱࢌ ሺࢠ૙ሻ ൌ ࢋିࣂ࢏ሺ࢘ࢁ ൅ ࢘ࢂ࢏ሻ                             (8) 其中(8)式右边在ሺݎ ,଴ߠ଴ሻ取值