《计量经济学》课程授课教案（讲稿）09 联立方程模型

联立方程模型（simultaneous-equationsmodel）13.1联立方程模型的概念有时由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变量之间的关系。有时为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。这时应该用多个方程的组合来描述整个经济活动。从而引出联立方程模型的概念。联立方程模型：对于实际经济问题，描述变量间联立依存性的方程体系。联立方程模型的最大问题是E(Xu）*O，当用OLS法估计模型中的方程参数时会产生联立方程偏倚，即所得参数的OLS估计量β是有偏的、不一致的。给出三个定义：内生变量（endogenousvariable）：由模型内变量所决定的变量。外生变量（exogenousvariable）：由模型外变量所决定的变量。前定变量（predeterminedvariable）：包括外生变量、外生滞后变量、内生滞后变量。例如：y,= do + αiyi-I + Box,+ β,x-I +u,y为内生变量；x,为外生变量；y-1,xi,Xt1为前定变量。联立方程模型必须是完整的。所谓完整即“方程个数≥内生变量个数”。否则联立方程模型是无法估计的。13.2联立方程模型的分类（结构模型，简化型模型，递归模型）(1)结构模型（structuralmodel)：把内生变量表述为其他内生变量、前定变量与随机误差项的方程体系。例：如下凯恩斯模型（为简化问题，对数据进行中心化处理，从而不出现截距项）消费函数，行为方程（behaviorequation）c,=Qiy,+un投资函数，行为方程I,=Biy+βy-+unCy,=c,+ I,+G,国民收入等式，定义方程（definitionalequation）（1)其中，C,消费：yt国民收入；I投资：G，政府支出。α1，βi，β称为结构参数。模型中内生变量有三个c，y，l。外生变量有一个Gr。内生滞后变量有一个y-1。Gr，yi-I又称为前定变量。因模型中包括三个内生变量，含有三个方程，所以是一个完整的联立模型。内生变量与外生变量的划分不是绝对的，随着新的行为方程的加入，外生变量可以转化为内生变量；随着行为方程的减少，内生变量也可以转化为外生变量。(2)简化型模型（reduced-formequations）：把内生变量只表示为前定变量与随机误差项函数的联立模型。仍以凯恩斯模型为例其简化型模型为，C,= T1 Ji-1 + T12G,+ Vi1I,=元21y-1+元22G,+V12(2)/= 31 y+1 + 32G,+ V13c九1元或元21元221元32V21其中cr，yr，I为内生变量，y-1,Gt为前定变量，元ij(i=1,2,3,1,2)，为简化型参数。1

联立方程模型（simultaneous-equations model） 13.1 联立方程模型的概念 有时由于两个变量之间存在双向因果关系，用单一方程模型就不能完整的描述这两个变 量之间的关系。有时为全面描述一项经济活动只用单一方程模型是不够的。这时应该用多个 方程的组合来描述整个经济活动。从而引出联立方程模型的概念。 联立方程模型：对于实际经济问题，描述变量间联立依存性的方程体系。 联立方程模型的最大问题是 E(X 'u) ≠ 0，当用 OLS 法估计模型中的方程参数时会产生 联立方程偏倚，即所得参数的 OLS 估计量 β ˆ 是有偏的、不一致的。 给出三个定义： 内生变量（endogenous variable）：由模型内变量所决定的变量。 外生变量（exogenous variable）：由模型外变量所决定的变量。 前定变量（predetermined variable）：包括外生变量、外生滞后变量、内生滞后变量。 例如： yt = α0 + α1 yt-1 + β0 xt + β1 xt-1 + ut yt 为内生变量；x t 为外生变量；yt-1, xt , xt-1 为前定变量。 联立方程模型必须是完整的。所谓完整即“方程个数 ≥ 内生变量个数”。否则联立方程 模型是无法估计的。 13.2 联立方程模型的分类（结构模型，简化型模型，递归模型） ⑴结构模型（structural model）：把内生变量表述为其他内生变量、前定变量与随机误差 项的方程体系。 例：如下凯恩斯模型（为简化问题，对数据进行中心化处理，从而不出现截距项） ct = α1 yt + ut1 消费函数， 行为方程（behavior equation） It = β1 yt + β2 yt-1 + ut2 投资函数， 行为方程 yt = ct + It + Gt 国民收入等式，定义方程（definitional equation） (1) 其中，ct 消费；yt 国民收入；It 投资；Gt 政府支出。 α1, β1, β2 称为结构参数。模型中内 生变量有三个 ct，yt，It。外生变量有一个 Gt。内生滞后变量有一个 yt-1。Gt , yt-1 又称为前 定变量。因模型中包括三个内生变量，含有三个方程，所以是一个完整的联立模型。 内生变量与外生变量的划分不是绝对的，随着新的行为方程的加入，外生变量可以转化 为内生变量；随着行为方程的减少，内生变量也可以转化为外生变量。 ⑵简化型模型（reduced-form equations）：把内生变量只表示为前定变量与随机误差项函 数的联立模型。 仍以凯恩斯模型为例其简化型模型为， ct = π11 yt-1 + π12Gt + vt 1 It = π21 yt-1 + π22Gt + vt 2 yt = π31 yt-1 + π32Gt + vt 3 (2) 或 ⎜ = + ⎜ ， ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ t t t y I c ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3231 2221 1211 ππ ππ ππ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − t t G y 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 2 1 v v v 其中 ct，yt，It 为内生变量，yt-1, Gt 为前定变量，πi j, (i=1, 2, 3, j=1, 2), 为简化型参数。 1

用如下矩阵符号表示上式(3)Y=-IIX+v显然结构模型参数与简化型模型参数之间存在函数关系。把结构模型（1）中的内生变量全部移到方程等式的左边得- αy,=CiuntI,-βy=βByr+u2Gt(4)-I +y=-C,用矩阵形式表达01-BB20-1-11用如下矩阵符号表示上式(5)AY=BX+u则Y= A'BX+A'u(6)比较联立方程模型（3）和（6），结构参数和简化型参数有如下关系存在，I=A'B0)(元11(1- β)70αiβ2元12αaiar11β20βI1α1βiββ2(1-αl)元21元221α1 -β,1α β111八。11Jβ2（元31元32r10-α,adj(A)其中，A"=01IA/=- β=1-α1-βr 。A]-11<-11(1 β)β,(1 β)α1αn1-α,1β1-α1βiadj(A)=α1111]1βαiA的伴随矩阵是A的代数余子式组成的矩阵的转置。V=A'u(1 β)αiVia1β1αB-α-β110(3)递归模型（recursive system）：在结构方程体系中每个内生变量只是前定变量和比其序号低的内生变量的函数。2

用如下矩阵符号表示上式 Y = Π X + v (3) 显然结构模型参数与简化型模型参数之间存在函数关系。 把结构模型（1）中的内生变量全部移到方程等式的左边得 ct - α1yt = ut1 It - β1yt = β2yt-1 + ut2 - ct - It + yt = Gt (4) 用矩阵形式表达 = + ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − 111 10 01 1 1 β α ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ t t t y I c ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 10 0 00 β 2 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − t t G y 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 2 1 t t u u 用如下矩阵符号表示上式 ΑY = Β X + u (5) 则 Y = Α-1Β X + Α-1 u (6) 比较联立方程模型（3）和（6），结构参数和简化型参数有如下关系存在， Π = Α-1Β = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3231 2221 1211 ππ ππ ππ 1 11 1 −− βα ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 111 1 1 1 11 111 βαβ ααβ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 10 0 00 β 2 = 1 11 1 −− βα ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − 1 )1( 2 112 121 β βαβ αβα 其中，A -1 = A (adj A) 。| A | = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − 111 10 01 1 1 β α =1−α − β11 。 adj(A) = ′ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 1 11 1 1 1 1 1 1 11 βα αα ββ = 。 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 111 1 1 1 11 111 βαβ ααβ Α的伴随矩阵是Α的代数余子式组成的矩阵的转置。 v = Α-1 u = ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 3 2 1 v v v 1 11 1 −− βα ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − 111 1 1 1 11 111 βαβ ααβ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 0 2 1 t t u u ⑶递归模型（recursive system）：在结构方程体系中每个内生变量只是前定变量和比其 序号低的内生变量的函数。 2

Cy=BxI+...+βixk+uy2=B21 Xi +..+B2kxk+021y+2y3=Bixi+...+Bkx+a3iy+032y2+u3(7)ym=βmlXi +... +βmkX*+amlyi+am2yi+...+amm-1 ym-1 +um其中y和x分别表示内生变量和外生变量。其随机误差项应满足E(ul 2) =E(u1 3)=... =E(2 u3)=..=E(um-1 um)= 013.3联立方程模型的识别（identification）例：关于粮食的需求供给模型如下，(需求函数)D,= β + β, P,+ u1（供给函数）S,= αo + α, P,+ u2L S,= D,(平衡条件)(8)其中D,需求量，S,供给量，P,价格，ui,（i=1,2）随机项。当供给与需求在市场上达到平衡时，D,=S=O，（产量），当用收集到的Q，P,样本值，而无其他信息估计回归参数时，则无法区别估计值是对β，β的估计还是对αo，αi的估计。从而引出联立方程模型的识别问题。也许有人认为若样本显示的是负斜率，则为需求函数：若是正斜率，则为供给函数。其实样本点所代表的只是不同需求与供给曲线的交点而已。显然为区别需求与供给曲线应进一步获得其他信息。例如收入和偏好的变化会影响需求曲线随时间变化产生位移，而对供给曲线不会产生影响。所以带有收入信息的这些观测点就会描绘出供给曲线的位置。也就是说供给曲线是可识别的。同理耕种面积、气候条件等因素只会影响供给曲线，不会对需求曲线产生影响。需求曲线就是可识别的。可见一个方程的可识别性取决于它是否排除了联立模型中其他方程所包含的一个或儿个变量。称此为识别反论。Q.e需求曲线需求曲线，收入水平不同供给曲线/供给曲线，耕地面积不同PtP,在模型（8）的需求函数和供给函数中分别加入收入变量I和天气变量W，(需求函数)D,= β + β P,+ βI,+ ul(供给函数)S,=αo+αP,+W,+2L S,=D,(平衡条件)于是行为方程成为可识别方程。也可以从代数意义上讨论识别问题。当结构模型已知时，能否从其对应的简化型模型参数求出结构模型参数就称为识别问题。从上面的分析已知，当一个结构模型确定下来之后，首先应考虑识别问题。3

y1 = β11 x1 + . + β1 k x k + u1 y2 = β21 x1 + . + β2 k x k + α21 y1 + u2 y3 = β31 x1 + . + β3 k x k + α31 y1 + α32 y2 + u3 . ym= βm1 x1 + . + βm k x k + αm1 y1 + αm2y1 + . +αm m-1 y m-1 + um (7) 其中 yi 和 x j分别表示内生变量和外生变量。其随机误差项应满足 E(u1 u2) = E(u1 u3) = . = E(u2 u3) = . = E(um-1 um) = 0 13.3 联立方程模型的识别（identification） 例：关于粮食的需求供给模型如下， Dt = β0 + β1 Pt + u1 (需求函数) St = α 0 + α1 Pt + u2 (供给函数) St = Dt (平衡条件) (8) 其中 Dt 需求量，St 供给量，Pt 价格，ui, (i =1,2) 随机项。 当供给与需求在市场上达到平衡时，Dt = St = Qt（产量），当用收集到的 Qt，Pt 样本值， 而无其他信息估计回归参数时，则无法区别估计值是对β0，β1 的估计还是对α 0，α1的估计。 从而引出联立方程模型的识别问题。 也许有人认为若样本显示的是负斜率，则为需求函数；若是正斜率，则为供给函数。其 实样本点所代表的只是不同需求与供给曲线的交点而已。显然为区别需求与供给曲线应进一 步获得其他信息。例如收入和偏好的变化会影响需求曲线随时间变化产生位移，而对供给曲 线不会产生影响。所以带有收入信息的这些观测点就会描绘出供给曲线的位置。也就是说供 给曲线是可识别的。同理耕种面积、气候条件等因素只会影响供给曲线，不会对需求曲线产 生影响。需求曲线就是可识别的。可见一个方程的可识别性取决于它是否排除了联立模型中 其他方程所包含的一个或几个变量。称此为识别反论。 Qt Qt 需求曲线 需求曲线, 收入水平不同 供给曲线 供给曲线,耕地面积不同 Pt Pt 在模型（8）的需求函数和供给函数中分别加入收入变量 It 和天气变量 Wt， Dt = β0 + β1 Pt + β2 It + u1 (需求函数) St = α 0 + α1 Pt + α2 Wt + u2 (供给函数) St = Dt (平衡条件) 于是行为方程成为可识别方程。 也可以从代数意义上讨论识别问题。当结构模型已知时，能否从其对应的简化型模型参 数求出结构模型参数就称为识别问题。从上面的分析已知，当一个结构模型确定下来之后， 首先应考虑识别问题。 3

如果无法从简化型模型参数估计出所有的结构模型参数，称该结构模型是不可识别的。如果能够从简化型模型参数估计出所有的结构模型参数，就称该结构模型是可识别的。当结构模型参数与相对应的简化型方程参数有一一对应关系时，结构模型参数是恰好识别的。举例说明。上模型写为Q=β+βP,+βI,+uiQ,= α o + αi P,+ a2 W,+ u2有6个结构参数。相应简化型模型为Q=元10+元1+元2W+VP,= /20+721 1,+ /22W,+ V12如果对于简化型模型来说，有些结构模型参数取值不惟一，则该结构模型是过度识别的。由此可见识别问题是完整的联立方程模型所特有的问题。只有行为方程才存在识别问题，对于定义方程或恒等式不存在识别问题。识别问题不是参数估计问题，但是估计的前提。不可识别的模型则不可估计。识别依赖于对联立方程模型中每个方程的识别。若有一个方程是不可识别的，则整个联立方程模型是不可识别的。可识别性分为恰好识别和过度识别。「不可识别模型的识别恰好识别可识别过度识别识别方法：①阶条件（ordercondition）不包含在待识别方程中的变量（被斥变量）个数≥（联立方程模型中的方程个数-1）阶条件是必要条件但不充分，即不满足阶条件是不可识别的，但满足了阶条件也不一定是可识别的。②秩条件（rankcondition）待识别方程的被序变量系数矩阵的秩=（联立方程模型中方程个数一1）秩条件是充分必要条件。满足秩条件能保证联立方程模型内每个方程都有别于其他方程。识别的一般过程是（1）先考查阶条件，因为阶条件比秩条件判别起来简单。若不满足阶条件，识别到此为止。说明待识别方程不可识别。若满足阶条件，则进一步检查秩条件。（2）若不满足秩条件，说明待识别方程不可识别。若满足秩条件，说明待识别方程可识别，但不能判别可识别方程是属于恰好识别还是过度识别。对此还要返回来利用阶条件作判断。（3）若阶条件中的等式（被斥变量个数=方程个数－1）成立，则方程为恰好识别：若阶条件中的不等式（被斥变量个数>方程个数－1）成立，则方程为过度识别。例：某结构模型为，（恰好识别）yi=α12y2+Bxi+B12x2+u（过度识别）y2=023y3+B23x3+u2（不可识别）(9)y3=α31yi+α32y2+β3x3+u3试考查第二个方程的可识性。由于结构模型有3个方程，3个内生变量，所以是完整的联立方程模型。对于第2个方程，被斥变量有3个yI,X1,X2，（方程个数-1）=2。所以满足阶条件。结构模型的系数矩阵是，4

如果无法从简化型模型参数估计出所有的结构模型参数，称该结构模型是不可识别的。 如果能够从简化型模型参数估计出所有的结构模型参数，就称该结构模型是可识别的。 当结构模型参数与相对应的简化型方程参数有一一对应关系时，结构模型参数是恰好识 别的。 举例说明。上模型写为， Qt = β0 + β1 Pt + β2 It + u1 Qt = α 0 + α1 Pt + α2 Wt + u2 有 6 个结构参数。相应简化型模型为 Qt = π10 + π11 It + π12 Wt + vt 1 Pt = π20 + π21 It + π22 Wt + vt 2 如果对于简化型模型来说，有些结构模型参数取值不惟一，则该结构模型是过度识别的。 由此可见识别问题是完整的联立方程模型所特有的问题。只有行为方程才存在识别问 题，对于定义方程或恒等式不存在识别问题。 识别问题不是参数估计问题，但是估计的前提。不可识别的模型则不可估计。 识别依赖于对联立方程模型中每个方程的识别。若有一个方程是不可识别的，则整个联 立方程模型是不可识别的。 可识别性分为恰好识别和过度识别。 不可识别 模型的识别 恰好识别 可识别 过度识别 识别方法： ①阶条件（order condition） 不包含在待识别方程中的变量（被斥变量）个数 ≥（联立方程模型中的方程个数 – 1） 阶条件是必要条件但不充分，即不满足阶条件是不可识别的，但满足了阶条件也不一定 是可识别的。 ②秩条件（rank condition） 待识别方程的被斥变量系数矩阵的秩 = （联立方程模型中方程个数 – 1） 秩条件是充分必要条件。满足秩条件能保证联立方程模型内每个方程都有别于其他方 程。 识别的一般过程是（1）先考查阶条件，因为阶条件比秩条件判别起来简单。若不满足 阶条件，识别到此为止。说明待识别方程不可识别。若满足阶条件，则进一步检查秩条件。 （2）若不满足秩条件，说明待识别方程不可识别。若满足秩条件，说明待识别方程可识别， 但不能判别可识别方程是属于恰好识别还是过度识别。对此还要返回来利用阶条件作判断。 （3）若阶条件中的等式（被斥变量个数 = 方程个数 – 1）成立，则方程为恰好识别；若阶 条件中的不等式（被斥变量个数 > 方程个数 – 1）成立，则方程为过度识别。 例：某结构模型为， y1 = α12 y2 + β11 x1 + β12x2 + u1 （恰好识别） y2 = α2 3 y3 + β2 3 x 3 + u2 （过度识别） y3 = α 31 y1 + α 32 y2 + β3 3 x 3 + u 3 （不可识别） (9) 试考查第二个方程的可识性。 由于结构模型有 3 个方程，3 个内生变量，所以是完整的联立方程模型。对于第 2 个方 程，被斥变量有 3 个 y1, x1, x2，（方程个数 – 1）= 2。所以满足阶条件。 结构模型的系数矩阵是， 4

00-βu-β12-α120010(10)β23-α23100β33)α32α31从系数阵中划掉第2个方程的变量y2，y3，x的系数所在的相应行和列，得第2个方程被斥变量的系数阵如下，1-a12100β-β121--β12)0180β23(11)02300(-α31001B)α32α31因为1-βu/- βi2±0￥0,(12)00α31-α31被斥变量系数阵的秩=2，已知（方程个数）-1=2，所以第2个方程是可识别的。下面用阶条件判断第2个方程的恰好识别性或过度识别性。因为被斥变量个数是3>2，所以第2个方程是过度识别的。现考查第3个方程的可识性。对于第3个方程，被变量有2个x1,x2，（方程个数-1）=2。所以满足阶条件。从系数阵中划掉第3个方程的变量y1,J2,y3,x3的系数所在的相应行和列，得第3个方程的被斥变量系数阵如下01-412-βuI-β12βu β12000α230000因为βl1β12=000被斥变量系数阵的秩=1，已知（方程个数）-1=2，所以第3个方程是不可识别的。4.联立方程模型的估计方法yi=Bxi+.. +βax++uy2=β2ixi+...+β2x+021 y+u2y3 = B31 Xi + ... + Bskx #+ 031 y1 + 032y2 + u3递归模型的估计方法是OLS法。解释如下。首先看第一个方程。由于等号右边只含有外生变量和随机项，外生变量和随机项不相关，符合假定条件，所以可用OLS法估计参数。对于第二个方程，由于等号右边只含有一个内生变量y1，以及外生变量和随机项。根据假定u和u2不相关，所以y和不相关。对于来说，是一个前定变量。因此可以用OLS法估计第2个方程。以此类推可以用OLS法估计递归模型中的每一个方程。参数估计量具有无偏性和一致性。简化型模型可用OLS法估计参数。由于简化型模型一般是由结构模型对应而来，每个方程只含有一个内生变量且为被解释变量。它是前定变量和随机项的唯一函数。方程中解释变量都是前定变量，自然与随机项无关。所以用OLS法得到的参数估计量为一致估计量。对于结构模型有两种估计方法。一种为单一方程估计法，即有限信息估计法：另一种为5

(10) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − − − −− 31 32 33 23 23 12 11 12 001 10 00 1 0 0 αα β α β α ββ 从系数阵中划掉第 2 个方程的变量 y2, y3, x3 的系数所在的相应行和列，得第 2 个方程被 斥变量的系数阵如下， ⇒ (11) ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − − − −− 31 32 33 23 23 12 11 12 001 10 00 1 0 0 αα β α β α ββ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −− 00 1 31 11 12 α ββ 因为 0 1 31 11 α β − − ≠ 0 , 0 1 31 12 α β − − ≠ 0, (12) 被斥变量系数阵的秩 = 2，已知 (方程个数) - 1 = 2，所以第 2 个方程是可识别的。下面用阶 条件判断第 2 个方程的恰好识别性或过度识别性。因为被斥变量个数是 3 > 2，所以第 2 个 方程是过度识别的。 现考查第 3 个方程的可识性。对于第 3 个方程，被斥变量有 2 个 x1, x2，（方程个数 – 1） = 2。所以满足阶条件。 从系数阵中划掉第 3 个方程的变量 y1, y2, y3, x3 的系数所在的相应行和列，得第 3 个方程 的被斥变量系数阵如下 ⇒ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− − − − − −− 31 32 33 23 23 12 11 12 001 10 00 1 0 0 αα β α β α ββ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −− 00 11 ββ 12 因为 00 11 −− ββ 12 = 0 被斥变量系数阵的秩 = 1，已知 (方程个数) - 1 = 2, 所以第 3 个方程是不可识别的。 4. 联立方程模型的估计方法 y1 = β11 x1 + . + β1 k x k + u1 y2 = β21 x1 + . + β2 k x k + α21 y1 + u2 y3 = β31 x1 + . + β3 k x k + α31 y1 + α32 y2 + u3 . 递归模型的估计方法是 OLS 法。解释如下。首先看第一个方程。由于等号右边只含有 外生变量和随机项，外生变量和随机项不相关，符合假定条件，所以可用 OLS 法估计参数。 对于第二个方程，由于等号右边只含有一个内生变量 y1，以及外生变量和随机项。根据假 定 u1 和 u2 不相关，所以 y1 和 u2 不相关。对于 y2 来说，y1 是一个前定变量。因此可以用 OLS 法估计第 2 个方程。以此类推可以用 OLS 法估计递归模型中的每一个方程。参数估计 量具有无偏性和一致性。 简化型模型可用 OLS 法估计参数。由于简化型模型一般是由结构模型对应而来，每个 方程只含有一个内生变量且为被解释变量。它是前定变量和随机项的唯一函数。方程中解释 变量都是前定变量，自然与随机项无关。所以用 OLS 法得到的参数估计量为一致估计量。 对于结构模型有两种估计方法。一种为单一方程估计法，即有限信息估计法；另一种为 5

方程组估计法，系统估计法，即完全信息估计法。前者只考虑被估计方程的参数约束问题，而不过多地考虑方程组中其他方程所施加的参数约束，因此称为有限信息估计方法。后者在估计模型中的所有方程的同时，要考由于略去或缺少某些变量而对每个方程所施加的参数约束。因此称为完全信息估计法。显然对于联立方程模型，理想的估计方法应当是完全信息估计法，例如完全信息极大似然法（FIML）。然而这种方法并不常用。因为①这种方法计算工作量太大，②将导致在高度非线性的情况下确定问题的解，这常常是很困难的，③若模型中某个方程存在设定误差，这种误差将传播到其他方程中去。所以对于联立方程模型常用的估计方法是单一方程估计法。常用的单一方程估计法有①间接最小二乘法（ILS），②工具变量法（IV），③两段最小二乘法（2SLS），④有限信息极大似然法（LIML）。工具变量法与2SLS法一起介绍。有限信息极大似然法不介绍。ILS法只适用于恰好识别模型。具体估计步骤是先写出与结构模型相对应的简化型模型，然后利用OLS法估计简化型模型参数。因为简化型模型参数与结构模型参数存在一一对应关系，利用IⅡ=AB可得到结构参数的唯一估计值。ILS估计量是有偏的，但具有一致性和渐近有效性。当结构方程为过度识别时，其相应简化型方程参数的OLS估计量是有偏的，不一致的。采用ILS法时，简化型模型的随机项必须满足OLS法的假定条件。Vi~N(Oα"),cov(viy)=0,cov(xi,>)=0。当不满足上述条件时，简化型参数的估计误差就会传播到结构参数中去。2SLS法。对于恰好识别和过度识别的结构模型可采用2SLS法估计参数。2SLS法即连续两次使用OLS法。使用2SLS法的前提是结构模型中的随机项和简化型模型中的随机项必须满足通常的假定条件，前定变量之间不存在多重共线性。以如下模型为例作具体说明。(13)y=yBxuLJ2=α2y1+ Bx2+ u2(14)其中u~N(0,o,"),i=1,2;plimT-(x,u)=0,(i,j=1,2);E(uu2)=0。第一步，作如下回归，(15)y2=元21X+元22×2+P2因为2=元2+元222是和x的线性组合，而,2与，无关，所以也与,2无关。y是y2的OLS估计量，自然与y2高度相关。所以可用y2作为y2的工具变量。第二步，用2代替方程（13）中的y2，得=用OLS法估计上式。定义W=（j2xi)，则" =(W'W)"(W'y)为2SLS估计量。是有偏的、无效的、一致估计量。可以证明当结构模型为恰好识别时，2SLS估计值与ILS估计值相同。6

方程组估计法，系统估计法，即完全信息估计法。前者只考虑被估计方程的参数约束问题， 而不过多地考虑方程组中其他方程所施加的参数约束，因此称为有限信息估计方法。后者在 估计模型中的所有方程的同时，要考虑由于略去或缺少某些变量而对每个方程所施加的参数 约束。因此称为完全信息估计法。 显然对于联立方程模型，理想的估计方法应当是完全信息估计法，例如完全信息极大似 然法（FIML）。然而这种方法并不常用。因为①这种方法计算工作量太大，②将导致在高度 非线性的情况下确定问题的解，这常常是很困难的，③若模型中某个方程存在设定误差，这 种误差将传播到其他方程中去。 所以对于联立方程模型常用的估计方法是单一方程估计法。常用的单一方程估计法有① 间接最小二乘法（ILS），②工具变量法（IV），③两段最小二乘法（2SLS），④有限信息极 大似然法（LIML）。 工具变量法与 2SLS 法一起介绍。有限信息极大似然法不介绍。 ILS 法只适用于恰好识别模型。具体估计步骤是先写出与结构模型相对应的简化型模 型，然后利用 OLS 法估计简化型模型参数。因为简化型模型参数与结构模型参数存在一一 对应关系，利用 Π = Α-1Β 可得到结构参数的唯一估计值。ILS 估计量是有偏的，但具有一 致性和渐近有效性。 当结构方程为过度识别时，其相应简化型方程参数的 OLS 估计量是有偏的，不一致的。 采用 ILS 法时，简化型模型的随机项必须满足 OLS 法的假定条件。vi ∼ N (0, σ 2 ), cov (vi, vj) = 0, cov (xi, vj) = 0。当不满足上述条件时，简化型参数的估计误差就会传播到结构参数中 去。 2SLS 法。对于恰好识别和过度识别的结构模型可采用 2SLS 法估计参数。2SLS 法即连 续两次使用 OLS 法。使用 2SLS 法的前提是结构模型中的随机项和简化型模型中的随机项 必须满足通常的假定条件，前定变量之间不存在多重共线性。 以如下模型为例作具体说明。 y1 = α1 y2 + β1 x1 + u1 (13) y2 = α2 y1 + β2 x2+ u2 (14) 其中 ui ∼ N (0, σi 2 ), i = 1,2; plim T -1 (xi uj) = 0, （i , j = 1, 2）； E(u1 u2) = 0。 第一步，作如下回归， y2 = 21 πˆ x1 + 22 πˆ x2 + (15) 2 vˆ 因为 = 2 yˆ 21 πˆ x1 + 22 πˆ x2 是 x1 和 x2的线性组合，而 x1, x2 与 u1, u2 无关，所以 也与 u1, u2 无关。 是 y2的 OLS 估计量，自然与 y2 高度相关。所以可用 作为 y2 的工具变量。 2 yˆ 2 yˆ 2 yˆ 第二步，用 代替方程（ yˆ 2 13）中的 y2，得 y1 = α1 2 + β1 x1 + u1 yˆ 用 OLS 法估计上式。定义 W = ( yˆ 2 x1)，则 γˆ = (W 'W) -1 (W 'y1) γˆ 为 2SLS 估计量。γˆ 是有偏的、无效的、一致估计量。 可以证明当结构模型为恰好识别时，2SLS 估计值与 ILS 估计值相同。 6

13.4案例案例1：河南省国民收入计量模型（1952-1982年数据，递归模型，OLS法估计参数）(1)Yi=-21.0982+0.0486X,+0.033X4+20.5486Di（农业生产函数）(7.63)(9.99)(9.04)R2=0.9845, F= 572.9, DW=2.20(2)LnYz=0.0876+0.2184LnX2+0.6545LnXs+0.3503D2（重工业生产函数）R2=0.8165,F=38.54,DW=1.27(1.54)(5.19)(2.45)(3) LnY;= 0.5946+ 0.3728 LnX; +0.7798 LnX6（轻工业生产函数）(5.10)(6.86)R=0.7939,F=51.98,DW=2.12(4) Y4=Y2+ Y3（定义方程）(5)Y,=2.1586+0.4271Y,+0.5854Y4+16.8646D（国民收入函数）(10.37)(4.34)(5.26)R=0.9874,F= 709.1,DW=1.34变量定义：Y1，农业总产值（亿元）X1，农业劳动力人数（万人）Y2，重工业总产值（亿元）X2，重工业劳动力人数（万人）Y3，轻工业总产值（亿元）X3，轻工业劳动力人数（万人）Y4，工业总产值（亿元）X4，农机总动力（万马力）Ys，国民收入（亿元）Xs，重工业固定资产原值（亿元）X6，轻工业固定资产原值（亿元）DI,D2,D3，虚拟变量（区别经济困难时期)Xi1.农业生产函数农业劳动力人数YiX4农机总动力重工业劳动力人数RYsY25.国民收入函数重工业固定资产原值XSY42重工业生产函数4.定义方程X轻工业劳动力人数Y3X63.轻工业生产函数轻工业固定资产原值（1）在河南省国民收入计量模型中若删去1号方程，则Y变为外生变量。（2）若在模型中加入方程X4=（可灌溉亩数，农机台数，副业产值），则X4由外生变量转化为内生变量。（3）若在5号方程中加入交通运输业变量Y6，则Y6为外生变量。若加入方程Y6=f（货运量，铁路运营公里数，公路运营公里数），则Y6由外生变量转化为内生变量。7

13.4 案例 案例 1：河南省国民收入计量模型（1952-1982 年数据，递归模型，OLS 法估计参数） ⑴ Y1 = -21.0982 +0.0486 X1 +0.033 X 4 +20.5486 D1 （农业生产函数） (7.63) (9.99) (9.04) R2 = 0.9845, F = 572.9, DW = 2.20 ⑵ LnY2 = 0.0876 +0.2184 LnX2 +0.6545 LnX5 +0.3503 D2 （重工业生产函数） (1.54) (5.19) (2.45) R2 = 0.8165, F = 38.54, DW = 1.27 ⑶ LnY3 = 0.5946 + 0.3728 LnX3 + 0.7798 LnX6 （轻工业生产函数） (5.10) (6.86) R2 = 0.7939, F = 51.98, DW = 2.12 ⑷ Y4 =Y2 + Y3 （定义方程） ⑸ Y5 = 2.1586 + 0.4271 Y1 + 0.5854 Y4 + 16.8646 D3 （国民收入函数） (4.34) (10.37) (5.26) R2 = 0.9874, F = 709.1, DW = 1.34 变量定义： Y1，农业总产值（亿元） X1，农业劳动力人数（万人） Y2，重工业总产值（亿元） X2，重工业劳动力人数（万人） Y3，轻工业总产值（亿元） X3，轻工业劳动力人数（万人） Y4，工业总产值（亿元） X4，农机总动力（万马力） Y5，国民收入（亿元） X5，重工业固定资产原值（亿元） X6，轻工业固定资产原值（亿元） D1, D2, D3，虚拟变量（区别经济困难时期） （1）在河南省国民收入计量模型中若删去 1 号方程，则 Y1 变为外生变量。 （2）若在模型中加入方程 X4 = f（可灌溉亩数，农机台数，副业产值）， 则 X4 由外生变量转化为内生变量。 （3）若在 5 号方程中加入交通运输业变量 Y6，则 Y6 为外生变量。若加入方程 Y6 = f（货运量，铁路运营公里数，公路运营公里数）， 则 Y6 由外生变量转化为内生变量。 7

案例2：美国电力需求模型（摘自ReviewofEconometricsandStatisticsVol.57,p12-18,1975电销量，电边际价格，人均年收入，天然气价格，取暖天数，7月平均气温，农村人口比率，家庭人口LnQ=-0.21-1.15LnP+0.51LnY+0.04LnG-0.02LnD+0.54LnJ+0.21LnR-0.24LnH(8.5)(4.0)(2.0)R2= 0.91(-38.3)(1.0)(4.5)(10.5)电边际价格，电销量，劳动力成本，上市发电比率，电成本，农村人口比率，工民电销比，时间LnP=-0.57-0.60 LnQ+0.24 LnL -0.02LnK+0.01 LnF+0.03LnR-0.12 Lnl+0.004LnT(6.0)(2.0)(3.3)(3.0)(1.3)R2=0.97(-20.0)(12.0)其中,Q：民用电年平均销售量。P：民用电边际价格。Y：人均年收入。G：民用天然气价格。D：取暖天数。J：：7月份平均气温。R：农村人口比率。H：平均家庭人口。L：劳动力成本。K：上市电力企业发电比重。F：每度电平均成本。I：工业用电与民用电销量比。T：时间。上模型中内生变量是O和P。并互做解释变量。因为每个方程中各有5个区别于另外方程的外生变量，所以上模型为过度识别模型。2SLS估计的步骤是（1）用模型中每个内生变量对模型中全部外生变量进行最小二乘回归，（2）用得到的Q和P的估计值替代结构方程右侧的相应内生变量，并进行最小二乘估计，从而得到上述结果。用的是1961-1969年美国48个州的时序与截面混合数据。实际分析：从第一个方程看，与电销售量对其他变量的弹性系数值相比，只有电销量的价格弹性系数值（绝对值）最大。这说明近年来，居民用电量的增长主要是因为电价下降的结果。案例3：中国宏观经济的联立方程模型（用中国1978-2000数据估计，file:simu4）消费方程：C,=+αY,+zC+u投资方程：1,=B+βYt-I+u2t收入方程；Y,=C,+I,+G其中：C,消费：Y，国民生产总值；I，投资：G，政府支出。联立方程模型的两段最小二乘估计（EViews）在打开工作文件窗口的基础上，点击主功能菜单上的Objects键，选NewObject功能EviewsEile Edit objects Yiew Procs Quick Options WindowHelpNew Object...Eetch from DB...Update selected from DB...Store selected to DB...Copy selected...Rename selected...Delete selected从而打开NewObject（新对象）选择窗。选择System，并在NameofObject处为联立方程8

案例 2：美国电力需求模型 （摘自 Review of Econometrics and Statistics Vol. 57, p12-18, 1975） 电销量， 电边际价格，人均年收入，天然气价格，取暖天数，7 月平均气温，农村人口比率，家庭人口 LnQ = -0.21-1.15 LnP + 0.51 LnY + 0.04 LnG - 0.02 LnD + 0.54 LnJ + 0.21 LnR - 0.24 LnH (-38.3) (8.5) (4.0) (1.0) (4.5) (10.5) (2.0) R2 = 0.91 电边际价格， 电销量，劳动力成本，上市发电比率，电成本，农村人口比率，工民电销比，时间 LnP = -0.57-0.60 LnQ + 0.24 LnL - 0.02 LnK + 0.01 LnF + 0.03 LnR - 0.12 LnI + 0.004 LnT (-20.0) (6.0) (2.0) (3.3) (3.0) (12.0) (1.3) R2 = 0.97 其中, Q：民用电年平均销售量。P：民用电边际价格。 Y：人均年收入。 G：民用天然气价格。 D：取暖天数。 J：：7 月份平均气温。 R：农村人口比率。 H：平均家庭人口。 L：劳动力成本。 K：上市电力企业发电比重。 F：每度电平均成本。 I：工业用电与民用电销量比。T：时间。 上模型中内生变量是 Q 和 P。并互做解释变量。因为每个方程中各有 5 个区别于另外方 程的外生变量，所以上模型为过度识别模型。 2SLS 估计的步骤是（1）用模型中每个内生变量对模型中全部外生变量进行最小二乘回 归，（2）用得到的 Q 和 P 的估计值替代结构方程右侧的相应内生变量，并进行最小二乘估 计，从而得到上述结果。用的是 1961-1969 年美国 48 个州的时序与截面混合数据。 实际分析：从第一个方程看，与电销售量对其他变量的弹性系数值相比，只有电销量的 价格弹性系数值（绝对值）最大。这说明近年来，居民用电量的增长主要是因为电价下降的 结果。 案例 3：中国宏观经济的联立方程模型（用中国 1978-2000 数据估计，file:simu4） 消费方程：Ct = α0 + α1Yt + α2 Ct-1+ u1t 投资方程：It = β0 + β1 Yt-1 + u2t 收入方程；Yt = Ct + It + Gt 其中：Ct 消费；Yt 国民生产总值；It 投资；Gt 政府支出。 联立方程模型的两段最小二乘估计(EViews) 在打开工作文件窗口的基础上，点击主功能菜单上的 Objects 键，选 New Object 功能， 从而打开 New Object（新对象）选择窗。选择 System，并在 Name of Object 处为联立方程 8

模型起名（图中显示为Untitled）。NewObjectxLype of Object:Name for Object:SusterUntitledEquationGraphGroupLogLMatrix-Vector-CoefModelOKPoolSampleSeriesCanctustemTableTextVAR然后点击OK键。从而打开System（系统）窗口。在System（系统）窗口中键入联立方程模型。消费方程：C,=ao+aY,+aCti+ut投资方程：1,=β+Yt-I+u2收入方程；Y,=C,+I+G在EViews命令中用Cons表示Ct，用gdp表示Y，用Inv表示I，用Gov表示Gr。把如上的方程式键入System（系统）窗口，并选Cr-1，Yt1，G，为工具变量如下图。G口XSystem:5Y501 Workfile:SIMU4View Procs ObjectsPrint Hame FreezeMergeText EstimateSpecStats Resicons=C(1)+C(2)*gdp+C(3)*cons(-1)inv=C(4)+C(5)*gdp(-1)INSTcons(-1)gdp(-1)gov点击System（系统）窗口上的estimation（估计）键，立刻弹出系统估计方法窗口（见下图）。共有9种估计方法可供选择。他们是OLS，WLS，SUR（SeeminglyUnrelatedRegression），2SLS，WTSLS，3SLS，FIML，GMM（White协方差矩阵，用于截面数据），GMM（HAC协方差矩阵，用于时间序列数据）。9

模型起名（图中显示为 Untitled）。 然后点击 OK 键。从而打开 System（系统）窗口。在 System（系统）窗口中键入联立方程 模型。 消费方程：Ct = α0 + α1Yt + α2 Ct-1+ u1t 投资方程：It = β0 + β1 Yt-1 + u2t 收入方程；Yt = Ct + It + Gt 在 EViews 命令中用 Cons 表示 Ct，用 gdp 表示 Yt，用 Inv 表示 It，用 Gov 表示 Gt。把 如上的方程式键入 System（系统）窗口，并选 Ct-1，Yt-1，Gt 为工具变量如下图。 点击 System（系统）窗口上的 estimation（估计）键，立刻弹出系统估计方法窗口（见 下图）。共有 9 种估计方法可供选择。他们是 OLS，WLS，SUR（Seemingly Unrelated Regression），2SLS，WTSLS，3SLS，FIML，GMM（White 协方差矩阵，用于截面数据）， GMM（HAC 协方差矩阵，用于时间序列数据）。 9

System Estimation区E stimation method:Iteration ControlIterateWeights and CoefsOrdinary Least SquaresSinultaneousWeighted L.S. (equation weights)Sequential2Seemingly Unrelated RegressionOne-StepWeighting MatrixIterateCoefsIwo-Stage Least SquaresOne-StepCoefsWeighted Two-Stage Least SquaresGMM onlyPThree-StageLeastSquares2SLSEstimates/GMMS.EEullInformation Maximum LikelihoodSample:GMM-Cross section (White cov.]1978 2000GMM-Time series(HAC)DoptionsOKCance选择2SLS估计，点击OK键，得估计结果如下。System: SYS01Estimation Method:Two-Stage Least SquaresDate:11/07/02Time:11:36Sample:19792000Included observations: 22Total system (balanced) observations 44Instruments:CONS(-1) GDP(-1)GOVCCoefficientStd. Errort-StatisticProb.c(1)362.0544102.24693.5409800.0011c(2)0.3617600.02125317.021380.0000C(3)0.2466560.0499014.9429100.0000C(4)625.9373606.45741.0321210.3084c(5)0.4095240.01575325.996070.0000Determinant residual covariance3.23E+11Equation:CONS=C(1)+C(2)*GDP+C(3)*CONS(-1)Observations: 220.99951015001.51R-squaredMean dependent var0.999458S.D. dependent var13906.89Adjusted R-squared323.7131S.E.of regressionSum squared resid1991013.Durbin-Watson stat1.330722Equation: INV=C(4)+C(5)*GDP(-1)Observations: 2211940.130.971256R-squaredMean dependent var0.969819S.D. dependent var11402.53Adjusted R-squared1980.933S.E.of regressionSum squared resid784819300.388501Durbin-Watson stat估计结果表达式是，10

选择 2SLS 估计，点击 OK 键，得估计结果如下。 估计结果表达式是， 10