《数字信号处理》课程教学课件（2020讲稿）第五章 数字滤波器（IIR数字滤波器双线性变换法 Bilinear Transformation）

第五章 数字滤波器 IIR数字滤波器 双线性变换法

（1）脉冲/阶跃响应不1、从模拟低通滤波器变法设计数字低通滤波器双线性变换法V一、从模拟滤波器（1）直接由模拟原型设计数字滤波器到各种类型数字滤波器2、IIR数字低通滤波器的转换的频率变换（高通、带（2）从数字低通滤波通、带阻数字滤波器的器到各种类型数字滤设计波器的转换（1）零、极点位置累1、IIR数字低通滤波器试法（点阻滤波器）IR数字滤波的频域直接设计方法：（2）幅度平方函数法二、直接设计IR数器设计字滤波器(1)帕德逼近法2、IIR数字低通滤波器(2)波形形成滤波器的时域直接设计方法设计1、最小均方误差方法三、IR数字滤波器2、最小p误差方法的优化设计方法3、最小平方逆设计法4、线性规划设计方法

IIR数字滤波 器设计 一、从模拟滤波器 设计数字滤波器 二、直接设计IIR数 字滤波器 三、IIR数字滤波器 的优化设计方法 1、从模拟低通滤波器 设计数字低通滤波器 2、IIR数字低通滤波器 的频率变换（高通、带 通、带阻数字滤波器的 设计 1、IIR数字低通滤波器 的频域直接设计方法 2、IIR数字低通滤波器 的时域直接设计方法 1、最小均方误差方法 2、最小p误差方法 3、最小平方逆设计法 4、线性规划设计方法 （1）脉冲/阶跃响应不 变法 （2）双线性变换法 （1）直接由模拟原型 到各种类型数字滤波器 的转换 （2）从数字低通滤波 器到各种类型数字滤 波器的转换 （1）零、极点位置累 试法（点阻滤波器） （2）幅度平方函数法 （1）帕德逼近法 （2）波形形成滤波器 设计

双线性变换方法(BilinearTransformation原理推导脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平面到z平面的标准变换z三esT的多值对应关系导致的，为了克服这一缺点，设想变换分为两步：第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里；第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也就消除了混淆现象

原理推导 脉冲响应不变法的主要缺点是频谱交叠产生的混淆，这是从S平 面到Z平面的标准变换z＝esT的多值对应关系导致的,为了克服 这一缺点，设想变换分为两步： 第一步：将整个S平面压缩到S1平面的一条横带里； 第二步：通过标准变换关系将此横带变换到整个Z平面上去。 由此建立S平面与Z平面一一对应的单值关系，消除多值性，也 就消除了混淆现象

NiI.[z]NjMj2s元/TaO000Re[z]/TTVS平面2平面Si平面双线性变换的映射关系2019-5-11-5-

2019-5-11 -5- 双线性变换的映射关系

双线性变换方法(BilinearTransformation映射关系：频域直接映射H.(s)→ H(z)什么是双线2 1-z-2/T+8性变换？(1)ZST 1+ z-12 /T-(2 / T + )2+2(2)2(2 / T - )2 + 22T2tan2s= jn,z=ejw(3)22anTs与z之间有简单的代数关系

1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 ( ) ( ) / ( ) ; / ( / ) ( ) | | ( / ) tan ( ) , tan a j H s H z T s z z s T s T z T z T T s j z e T w s W s W W w W w W - - - ® + - = = - + + + = - + ìï ç ÷ = ï ç = = Þ í ï ç ÷ = î 频 域 直 接 映 射 s与z之间有简单的代数关系 什么是双线 性变换？ 映射关系：

双线性变换方法(BilinearTransformation)H (s) → H(z)频域直接映射2 1-2-12/T+8(1)2SHa(j2)T 1+ z-12/T-8-1/2w=2tan8=j, z=ew →(2)2-Qp/22T2pww2元2元元预畸w2uPH(e')2与脉冲响应-元不变变换法z域s域映射关系比较2元-2元（混叠失真）

11 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 ( ) ( ) / ( ) ; / tan ( ) , tan a j H s H zT s z z s T s T z T s j z e T w W w W w W - - ® + - = = - + ìï ç ÷ = ï ç = = Þ íï ç ÷ = î -/T /T Ha(j)  频域直接映射 - H(ej) w -w  2 -2 2 -2 p p pp pp 与脉冲响应 不变变换法 z域s域映射 关系比较 （混叠失真）

双线性变换方法(Bilinear Transformation) 优缺点 优点：消除了混叠误差 缺点：频率ω与Ω之间非线性

优缺点 优点：消除了混叠误差 缺点：频率ω与Ω之间非线性

为什么要预畸呢？若数字带通滤波器的四个截止频率为i,W2，W3，W4100-子82按线性变换所对应的四个模拟截止频率分别为：0ww,=332=4,2=号,24=T 'TTH,G0)Me")再进行模拟带通滤波器的系统函数的求解：01.0h2914求出后，如用双线性变换将模拟滤波器变换成为数字滤波器2T2 1- 2-1w=2tanS=T 1+ 2-12显然就不等于原来给出的数字滤波器的频率要求，即现在带通的四个截止频率不等于原来的W1，W2,W需对第二步进行预畸。即模拟滤波器按预畸后的进行设计g(w/2)Important !!!再由模拟到数字由数字到模拟

• 若数字带通滤波器的四个截止频率为 ； • 按线性变换所对应的四个模拟截止频率分别为： • 再进行模拟带通滤波器的系统函数的求解； • 求出后，如用双线性变换将模拟滤波器变换成为数字滤波器 • 显然就不等于原来给出的数字滤波器的频率要求，即现在带通的四个 截止频率不等于原来的 ，需对第二步进行预畸。即模拟滤波器 按预畸后的 进行设计。 , , , T T T T w w w w W = 1 W = 2 W = 3 W = 4 1 2 3 4 w1 , w2 , w3 , w4 tan WT w -   = ç ÷   1 2 2 1 2 3 4 w , w , w , w ( )tg( ) Wk = T wk 2/ /2 1 1 2 1 1 z s T z - - - = + 由数字到模拟，再由模拟到数字

2Q02=午1g%2②02=T2----2-1---3-元00HG2)-0--He-----S--.----元0010203040

双线性变换方法（模拟滤波器数字化2 / T + S211-z频域直接映射S2/T-ST1+2=HH(z) = H. (2 1-2-10-S+T 1+z-12HH(e) = H.(js(二tan01s与z之间有简单的代数关系

tan / ; / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( tan ) a z a s T z jw a a T T s z z s T s T z z H z H s H T z H e H j H T w W w - - - - - - = - + ç ÷ = + - = = - + - = = + ç ÷ = W = 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 频 域 直 接 映 射 s与z之间有简单的代数关系