《数字信号处理》课程教学课件（2020讲稿）第五章 数字滤波器（FIR数字滤波器）

第五章 数字滤波器 FIR数字滤波器

概述IIR滤波器幅度特性好，但无法实现线性相位，需附加调相网络；IIR滤波器需要注意稳定性问题；由于单位抽样响应特点不同，IIR滤波器设计方法不能移植于FIR滤波器的设计；在图像处理，数据传输和现代通信系统中多要求系统具有线性相位特性：方便起见，很多时候均使用FIR滤波；FIR滤波可利用快速傅立叶变换；鉴于FIR滤波器可以做到线性相位，可专门讨论线性相位FIR滤波器的设计，因为若对相位不感兴趣，可用阶数低很多的IIR滤波实现

IIR滤波器幅度特性好，但无法实现线性相位，需附加调相网络； IIR滤波器需要注意稳定性问题； 由于单位抽样响应特点不同，IIR滤波器设计方法不能移植于FIR滤波器的 设计； 在图像处理，数据传输和现代通信系统中多要求系统具有线性相位特性， 方便起见，很多时候均使用FIR滤波； FIR滤波可利用快速傅立叶变换； 鉴于FIR滤波器可以做到线性相位，可专门讨论线性相位FIR滤波器的设计， 因为若对相位不感兴趣，可用阶数低很多的IIR滤波实现

一、系统具有线性相位响应的条件h(n)=±h(N-n-1)线性相位条件：FIR频响：N-1(h(n)e -jwnH(e'")=n=0极坐标形式H(e'") = ±|H(e ') e 0(a))是实序列时,H(e ~)=H(e-)]，(w)=-(-wh(n)是H(e ') = H(w)e i0(a)中心奇偶对称：与圆周奇偶对称不同

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 频响： 极坐标形式 是实序列时， - ， FIR = =- - 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N j j n n j j j j j j j H e h n e H e H e e h n H e H e H e H e w w w w q w w w w q w q w q w w - - = = = ± = å h(n)=±h(N-n-1)

二、线性相位FIR系统的时、频域特点Case1：h(n)中心偶对称，N为奇数N_h(n)H(e in) = h(n)e -jun(N=7)n=0N-3N h(n) e-jun +e -jw(N-n-1)hen2n=0N-3N-1N-1N-12iy-jwiN-jw(N-n-1)222jwnShh(n)e=eeP2n=0N-3N-1N-1N-12jwiwNJ222h(n) eh+ee2n=0N-32N-1N-1LZh2h (n)cos wen22n=0

1 0 3 1 2 1 2 0 3 1 1 1 2 2 2 2 1 0 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N j j n n N N j j n j N n n N N N N j j j j n j N n n H e h n e N h n e e h e N e h h n e e e e w w w w w w w w w w - - = - - - ç ÷ - - - - = - - - - - - - - - = = - = + + ç ÷ ì - = ç ÷+ + å å å 3 1 1 1 2 2 2 2 0 1 2 0 1 2 1 1 2 2 2 ( ) ( )cos N N N N j j n j n n Nj n N e h h n e e N N e h h n n w w w w w - - - - - - - - = - - ç ÷ = ü - = ç ÷+ + - - = + - å 3 2 N-å h(n) n (N=7)

这里Hw）并不是定义一个(N+1)/2点序列a(n):幅频响应，其值可正可负N-1N-1N-1=2ha(0) =h(m)n ,n=1. 2..1note222N-1NH(w)jw2H(ea(n)cos wn=e1n=0N-1H(w)=a(n)cos wn2元w=n=N-1H(w) = H(2元 -w)d(w?p(w)22元元w利用上式可由hn）语到滤波(N-1)元频率响应线性相位FIR滤波器

H(w)  2 w w  2 (w) -(N-1) 这里H(w)并不是 幅频响应，其值 可正可负 H(w) = H(2-w) 利用上式可由 h(n) 得到滤波器 频率响应 1 1 2 2 0 1 2 0 1 1 1 0 2 1 2 2 2 2 1 2 ( ) , ( ) , , ,., ( ) ( )cos ( ) ( )cos ( ) N N j j n N n N N N a h a n h n n H e e a n n H a n n N w w w w w  w w - ç - ÷ - = - = - - - = = - = = ìï = Þ í ï = -ç - ÷ î å å 定义一个 (N + 1)/2点序列 a(n)：

AN EXAMPLEh(n)a(n)1.50.50.50-0.5-0.5-1-1-1.5-1.5-2-2-2.52.5&240426H(w)p(w)-10-152-200.20.20.40.81.2.1.61.8200.40.60.811.21.41.61.800.611.42[H(eiw)|arg[H(ei)]200.20.40.60.81.21.61.8211.40.20.40.60.81.21.41.61.80A2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -2 0 2 4 6 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -2 0 2 4 6 0 2 4 6 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 2 4 6 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -20 -15 -10 -5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -4 -2 0 2 4 h(n) a(n) H(w) |H(e jw)| (w) arg[H(e jw)]

Case 2：h(n)中心偶对称，N 为偶数NH(w)h(n) e -jn +e -io(N-I-n)H(e w)=null, high pass?n=0NN-1N-1N-12-jw-jwjw2222h(n)+e=e2元wAAn=0VN_元2aN12h(n)cos=en22H(w) = -H(2π-w)n=0H(元) = 0定义一个(N/2+ 1)点序列 b(n):NNb(0) = 0, b(n) = 2hΦ(w)nn=222元元Nw0(w)H(ew)=eb(n)cos w|n-n=0(N-1)元H(w)

H(w)  w 2 w  2 (w) -(N-1) H(w) = -H(2-w) H()  0 ( ) 1 2 1 0 1 1 1 1 2 2 2 2 0 1 1 2 2 0 1 2 2 2 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )cos ( ) , N j j n j N n n N N N N j j n j n n N Nj n H e h n e e e h n e e N e h n n b b w w w w w w w w - - - - - = - - - - - - - - = - ÷ - - ç = = + = + = ç - - ÷ = å å å 1 2 2 0 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) , , ,., ( ) ( )cos N j N j n H N N n h n n H e e b n n  w w w w w ç - ÷ - = = ç - ÷ = = å ç - ÷ 144424443 144444444424444444443 定义一个 (N/2 + 1)点序列 b(n)：

AN EXAMPLEh(n)a(n)1.51.50.50.50.5-0.5-1.51.52406n2H(w)p(w)-10-15200.81.21.61.80.20.40.60.81.20.20.40.61.4011.41.61.81[H(ei)arg[H(ei)]471.20.20.20.40.60.81.41.61.80.40.60.81.21.41.61.811

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -20 -15 -10 -5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -4 -2 0 2 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -4 -2 0 2 4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -4 -2 0 2 4 0 2 4 6 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 2 4 6 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 h(n) a(n) H(w) |H(e jw)| (w) arg[H(e jw)]

Case3：h(n)中心奇对称，N为奇数（中间项恒为零）N-3H(w)Ch(n) e -jun -e -jo(N-I-n)H(e jw) =n=0N-3w2元N-lw2 2h(n)sin N-12=en2n=0nulls定义一个(N+ 1)/2点序列 c(n)：H(w) = -H(2元-w)N-1H(0) = H(元) = H(2元) = 0N-1c(0) = 0, c(n) = 2h22p(w)H(e jw...元/2V2元N-1元-W2220(w)c(n)sin wn=en=0-(N-3/2)元H(w)

 2 w (w) -(N-3/2) /2 H(w)  2 w H(w) = -H(2-w) H(0) = H() = H(2)  0 ( ) 3 2 1 0 3 1 2 2 2 0 1 2 2 1 2 2 1 1 0 0 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( )sin ( ) , ( ) , , ,., ( ) N j j n j N n n N N j n j N j H e h n e e N e h n n N N c c n h n n H e e w w w  w w  w w - - - - - = - ç - ÷ - = ç - ÷ - = - = ç - - ÷ ç - ÷ - = = ç - ÷ = = å å 1 2 0 ( ) ( ) ( )sin N n H c n n  w w w ÷ - =å 1444442444443 144444442444444443 定义一个 (N + 1)/2点序列 c(n)：

AN EXAMPLEh(n)c(n)2C6024642元0元H(w)-2元2-4元O-6元-8元0.20.40.60.81.21.41.61.800.5元1.5元2元7arg[H(ew)][H(ei)/2.--.-....-....::0.60.81.21.820.20.20.41.41.660.40.60.81.21.41.61.8211

0 2 4 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 2 4 6 -3 -2 -1 0 1 2 3 h(n) c(n) 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -5 0 5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -5 0 5 H(w) |H(e jw)| 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -20 -15 -10 -5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -4 -2 0 2 4 (w) arg[H(e jw)]