《数字信号处理》课程教学课件（2020讲稿）第三章 离散傅里叶变换 §3-6 频域采样 §3-7 用DFT对连续时间信号逼近的问题 §3-8 加权技术与窗函数

第三章离散傅里叶变换

第三章 离散傅里叶变换

S3-6 频域采样问题：采用DFT实现了频域取样，对于任意一个频率特性能否用频率取样的方法去逼近？研究：1，限制？2，经过频率取样后有什么误差？3，如何消除误差？4，取样后所获得的频率特性怎样？

§3-6 频域采样 问题： 采用DFT实现了频域取样，对于任意一个频率特性能否 用频率取样的方法去逼近？ 研究： 1，限制？ 2，经过频率取样后有什么误差？ 3，如何消除误差？ 4，取样后所获得的频率特性怎样？

S 3-6频域采样一、取样点数的限制Vx(n)，任一非周期序列（绝对可频域取样一时域周期化和)..若 x(n)为无限长序列，OX(2)→X(el)= Zx(n)e-jion则不可能由 X(k)→x(n)n=-00AX(k)=X(ejo问题：2" k,k=0,-,N-1N若有x(n),n=0,l,...,M-1如何选取N才能使注意:X(k)≠DFT[x(n)] 为什么?X(k) → x(n)问题:X(k),0≤k≤N-1-?>x(n)0≤k≤N-10<≤n≤M-1频率取样后，信息有没有损失？能否用序列频率特性取样值X(k)恢复出原序列x(n)？

      n j j n X z X e x n e   ( ) ( ) ( ) 一、取样点数的限制 x(n), 任一非周期序列（绝对可 和） 注意： X (k)  DFTx(n) 为什么？ 问题： ( ),0 1 ( ) ? X k  k  N   x n ∵频域取样→时域周期化 ∴若 为无限长序列， 则不可能由 X(k)  x(n) x(n) , 0,1, , 1 ( ) ( ) 2      k k N N j X k X e    △ 问题： 若有 x(n),n  0，1，，M 1 如何选取N才能使 X(k)  x(n) 0  k  N 1 0 1    n M §3-6 频域采样 频率取样后，信息有没有损失？能否用序列频率特 性取样值X(k)恢复出原序列x(n)？

S 3-6频域采样2X(k)W-m令X(k)=x(k)<→ x(n)= VnAk=0WX(k)W-hnNk=0M-2ZW-knVkmx(m)WΛNNm=0N-M-1N-1W(m-n)k1VW(m-n)kZ2α(m)NNNNk-0k-0m=01, m=n+INM-1其他0,Zx(m)8(n+IN)-m) l, nm=0o((n +IN) -m)+00x(n+IN)→x(n)的周期延拓1=-00

     1 0 ( ) 1 N k kn WN X k N        1 0 ( ) 1 ~ ( ) ~ N k kn N X k W n N X (k) X(k)N x n ~ △ 令                1 0 1 0 ( ) 1 N k kn N M m km x m WN W N ( ) ( ) M N m n k N m k x m W N 1 1 0 0 1 x m  n lN m l n M m ( ) ( ) , 1 0         x(n lN) x(n) 的周期延拓 l       §3-6 频域采样 ( ) , , (( ) ) N m n k N k W N m n lN n lN m 1 0 1 1 0 其他

S 3-6频域采样2元N≥M 时(否则太大，导致混叠），..只有当A0=Nx'(n) →x'(n)R~(n) → x(n),0≤n≤M-1既然X(k) → x(n)0<k≤N-10≤n≤N-1WVz, X(z)=?N点有限长序列x(n)，可从单位圆X(z)的N个取样值X(k)恢复因而这N个X(k)也应该能完全表达整个X(z)函数及频响X(ejw)。DFT的综合就是z变换

( ) ( ) ( ), 0 1 ~ ( ) ~ x  n  x  n RN n  x n  n  M  ∴只有当 N  M 时（否则 太大，导致混叠）， N   2   既然 X(k)  x(n) 0  k  N 1 0  n  N 1 z, X(z)  ? §3-6 频域采样 N点有限长序列x(n)，可从单位圆X(z)的N个取样值X(k)恢复， 因而这N个X(k)也应该能完全表达整个X(z)函数及频响X(ejw)。 DFT的综合就是z变换

S 3-6频域采样二、内插公式N-1(0-2 -~ -2[2-k1X(k)Wn=0k=(n=0X(k)Z(w*2-l=Nk=0n=(-N-kN爱1F1X(k)式中:1-WNX(2)的内插公式k=0-N1-z-NN-11- zX(k)2pk() :(3-101)N1-Wk2--NW-kk=0N-1EX(k)0(2)（内插函数）(3-102)k=0在已知X(k)时，可根据内插公式求得任意z点的X(z)值，因此X(z)的N个取样点的X(k)值，包含了z变换的全部信息

二、内插公式      1 0 ( ) ( ) N n n X z x n z                1 0 1 0 ( ) 1 N n n N k kn N X k W z N 1 1 1 1 ( )       W z z N z k N N k 式中： （内插函数）           1 0 1 0 1 ( ) 1 N k N n n k N X k W z N           1 0 1 1 1 ( ) 1 N k k N kN N N W z W z X k N X (z) 的内插公式 (3-101) 1 1 0 1 ( ) 1 N N k k N z X k N W z          (3-102) 1 0 ( ) ( ) N k k X k z      §3-6 频域采样 =1 在已知X(k)时，可根据内插公式求得任意z点的X(z)值，因此X(z) 的N个取样点的X(k)值，包含了z变换的全部信息

S 3-6频域采样N-1类似的，有:X(ej°)=X(k)Φ(z)k=0z=ejoN-1EX(k)(ej°)k=0N-12元ZX(k)(ANk=0式中:ON比较：时域取样定理sin2频域取样公式0N0sin2

类似的，有： 1 0 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) j N j k k z e N j k k X e X k z X k e                    1 0 ) 2 ( ) ( N k k N X k                         2 1 2 sin 2 sin 1 ( ) N j e N N      式中： 比较：时域取样定理 频域取样公式 §3-6 频域采样

S3-7用DFT对连续时间信号逼近的问题若信号持续时间为有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱为有限宽，则其持续时间无限长严格来说，持续时间有限的带限信号是不存在的。为满足DFT的变换条件，实际上对频谱很宽的信号，为防止时域取样后产生频谱混叠失真，可用前置滤波器滤除幅度较小的高频分量，使连续时间信号的带宽小于折叠频率。对于持续时间很长的信号，取样点数太多以致无法存储和计算，只好截取为有限长进行DFT。所以，用DFT对连续时间信号进行傅单叶分析必然是近似的近似的准确程度严格的说是被分析波形的一个函数。两个变换之间的差异是因为DFT需要对连续时间信号取样和截断为有限列长而产生

§3-7 用DFT对连续时间信号逼近的问题 若信号持续时间为有限长，则其频谱无限宽； 若信号的频谱为有限宽，则其持续时间无限长。 严格来说，持续时间有限的带限信号是不存在的。 为满足DFT的变换条件，实际上对频谱很宽的信号，为防止 时域取样后产生频谱混叠失真，可用前置滤波器滤除幅度较 小的高频分量，使连续时间信号的带宽小于折叠频率。 对于持续时间很长的信号，取样点数太多以致无法存储和计 算，只好截取为有限长进行DFT。 所以，用DFT对连续时间信号进行傅里叶分析必然是近似的， 近似的准确程度严格的说是被分析波形的一个函数。 两个变换之间的差异是因为DFT需要对连续时间信号取样和 截断为有限列长而产生

思考1：课本P100上说：“信号的持续时间为有限长，则其频谱无限宽；若信号的频谱为有限宽，则其持续时间无限长。”人唱一首歌，持续时间有限长，是否频谱无限宽？感觉好像应该有限宽。试解释这一现象

10 / 30 思考1： 课本P100上说：“信号的持续时间为有限长，则其 频谱无限宽；若信号的频谱为有限宽，则其持续时 间无限长。” 人唱一首歌，持续时间有限长，是否频谱无限宽？ 感觉好像应该有限宽。试解释这一现象

数字信号处理系统的典型框图abitloudAnalogComputerDigitalComputerHGO)DSPOUTPUTDAC0/0ADCHN10101001()y)mr,)H(n)A#2-7取样值号的恢复

数字信号处理系统的典型框图