《数字信号处理》课程教学课件（2020讲稿）第三章 离散傅里叶变换 §3-4 离散傅里叶变换（DFT）

第三章 离散傅里叶变换

§3-4 离散傅里叶变换(DFT) DFS: x(n)←→x(k) 实际情况： x。(t)→x。(nT),Vn ↓ △ x(n)=x2(nT),n=0,1,·,N-1 那么， x(n),0≤n≤N-1 ↑- X(k),0≤k≤N-1

( ) ~ ( ) ~ DFS： x n  X k 实际情况：x t x nT n a ( )  a ( ), x(n)  x (nT ), n  0,1,, N 1 a △ 那么， x(n),0  n  N 1 X (k),0  k  N 1 ？

S 3-4 离散傅里叶变换(DFT)一、DFT的推导x(n)周期延拓令 x(n+IN)= x(n),0≤n≤ N-1, Vl=0,±1,±2,:x(n),0≤n≤N-1= x(n)R(n)x(n)主值序列x(n0,n<0,n≥N由DFS变换[3-17式]N-1N-1x(n)WX(k)=Zx(n)W"Vkel=n=0n=0显然X(k)= X(k+ N)仅有N个独立值

一、DFT的推导 (  )  ( ),0   1,  0,1,2, ~ 令 x n lN x n n N l ( ) ( ) ~ 0 , 0, ( ),0 1 ~ ( ) x n R n n n N x n n N x n  N          ~x (n)主值序列 由DFS变换[3-17式] 1 1 0 0 ( ) ( ) ( ) N N kn kn N N n n X k x n W x n W k I             显然 ( ) ~ ( ) ~X k  X k  N 仅有N个独立值 x(n)周期延拓

S 3-4 离散傅里叶变换(DFT)令X(k)= X(k)R(n)N-1则有X(k) = Zx(n)Whm0≤k≤N-1n=0即x(n),0≤n≤N-1>X(k).0≤k≤N-1Q问题: X(k),0≤k≤N-1>x(n),0≤n≤N-1: x(n)= x(n)R(n)KX(k)WR1nk=0N-.. X(k)→ x(n)X(k)W-kn>Nk=00≤k≤N-10≤n≤N-l0≤n≤N-1

令 ( ) ( ) 0 1 1 0        X k x n W k N N n kn N 则有 ( ) ( ) ~ X (k) X k R n N △  即 x(n),0  n  N 1  X (k),0  k  N 1 问题: X (k),0  k  N 1  x(n),0  n  N 1 ? ( ) ( ) ~ x(n) x n R n   N ( ) ( ) 1 ~ 1 0 X k W R n N N N k kn N            0 1 0 1 ( ) ( )         k N n N X k x n 1 0 1 ( ) 0 1 N kn N k X k W N n N        

S 3-4 离散傅里叶变换(DFT)归纳起来：N-1X(k) =Zx(n)Wm0≤k≤N-l1n=0△= DFT[x(n)]N-1X(k)W-hnZ0≤n≤N-1r(n)三NNk=0Λ= IDFT [X(k)]

归纳起来：  ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 DFT x n X k x n W k N N n kn N △           1 0 1 ( ) ( ) 0 1 ( ) N kn N k x n X k W n N N IDFT X k          △

S 3-4 离散傅里叶变换(DFT)注意：r(n)【1】DFT隐含周期性【2)x(n)与x(n)的内在联系-N-1x(n)是x(n) 的周期延拓(三（n）x(n)是x(n)的主值序列。分别简记为：0NNx(n) = x(n)主值区间x(n) =x(n)R(n)比如：Vn=mN+n(n)表示余数运算表达式，(n)~ = n注意x(n)有时表示一个序列，x(n)~ = x(n)有时表示序列中一个值

注意： 【1】DFT隐含周期性 是 的周期延拓， 是 的主值序列。 x(n) 【2】x(n)与 ( ) 的内在联系 ~x n ( ) ~x n x(n) ( ) ~x n 分别简记为： ( ) ( ) ~ x(n) x n R n  N  N x (n) x (n) ~  (( ))N n 表示余数运算表达式， 比如：   ( ) ( ) ( ) 1 1 1 x n x n n n n mN n N N      注意x(n)有时表示一个序列， 有时表示序列中一个值

S 3-4 离散傅里叶变换(DFT)【3】X(k)与X(k)的内在联系X(k)= X(k)R(k)X(k) = X(k))近似[4] x.(t) →x(n),0≤n≤N-1x.(nT)X.(jQ)<X(ej2T)= X(ejcJo)←X(k)近似优点：便于PC机运算，可以近似广泛应用

【3】X (k)与 ( )的内在联系 ~X k ( ) ( ) ~ X (k) X k R k  N  N X (k) X (k) ~  【4】x (t) a x (nT ) a X ( j) a x(n),0  n  N 1 ( ) ( ) j T j X e  X e  X (k) 近似 近似 近似 优点：便于PC 机运算，可以 广泛应用

历年考试真题求序列x(n)=(11 -1 1 -1}的DFT

历年考试真题 求序列x n  1 1 1 1的DFT

历年考试真题求序列x(n)=(1 -1 1 -1)的DFT解：x(n)=(1 -1 1 -1)N-1X(k) = Zx(n)W" = x(0) +x(1) en=0J=1-e=X() = 0; X(1) = 0X(2) = 4; X(3) = 0补充：可以用DFT性质五、六、十一加以校验

历年考试真题                             1 2 2 2 2 3 4 4 4 4 0 2 2 3 4 4 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 0 1 2 3 1 1 0 0; 1 0 2 4; 3 0 DFT N j k j k j k kn n j k j k k x n DFT x n X k x n W x x e x e x e e e X X X X                                   求序列 的 解： 补充：可以用 性质五、六、十一加以校验

历年考试真题求序列y(n)= sin(2元n/N)+cos(4元n/N),0≤n≤N-1的DFT

历年考试真题 求序列y n  sin 2 n N   cos4 n N ,0  n  N 1的DFT