《数字信号处理》课程教学课件（2020讲稿）第四章 快速傅里叶变换 §4-8 线性调频Z变换 Chirp-Z Transform §4-10 FFT的应用 §4-11 2-D DFT/FFT算法 §4-12 FFT的其它形式

第四章快速傅里叶变换

第四章 快速傅里叶变换

S4-8线性调频Z变换(Chirp-Z Transform)一、问题的提出N-1Vx(n), n=0,.., N-1 X(k)=DFT[x(n) = Zx(n)en=0（基-2，i） N=ML，2v→FFT算法统一，分裂基)k=0,1.... N-1i) FFT→X(k =0,1.... N-1t=ek(X(z)在[zl=1 上等间隔取样值)问题：1) 3X(zk)k=0,1.... M-1?2) 3 X(k),k=0,1..., M-1,M<N?3)NML（质数），X(k),k = 0,1.... M-1?Chirp-Z 变换

§4-8 线性调频 Z 变换 (Chirp-Z Transform) 3 / 30  x(n), n = 0,1,., N −1 一、问题的提出 X(k) DFT[x(n)]  =  − = − = 1 0 2 ( ) N n kn N j x n e  k N j k z e k X z 2 ( ) = = k = 0,1,., N −1 i) N=ML，2 ν → FFT算法 （基-2，统一，分裂基） ( ) , 0,1,., 1 2 → = − = FFT X z j N k k N k z e k  ii) （X(z)在 |z|=1 上等间隔取样值） 问题： 1) ( ) , 0,1,., 1? 1  = − X z  k M k z k 2)  X(k), k = 0,1,., M −1,M  N ? 3) N  ML（质数），  X (k) , k = 0,1,., M −1? Chirp-Z 变换

S4-8线性调频Z变换(Chirp-Z Transform)二、 算法原理V x(n),0≤n≤N-1<M104平面N-1Zx(n)z-nX(z)= n=0令AZh =AW-kk =0,1.... M-11ojgA=A.e图4-26(P.152)AW=Woe-jok =0.1..... M -1'ejko-KZk = Aejeo.Mk=01....M-1

§4-8 线性调频 Z 变换 (Chirp-Z Transform) 4 / 30  x(n), 0  n  N −1  − = − = 1 0 ( ) ( ) N n n X z x n z = , = 0,1,., −1 −  z AW k M k k 二、算法原理 令 0 0 j A A e  = , 0,1,., 1 0 = 0 = − −  W W e k M j 0 0 0 0 j k jk k z = A e W e − k = 0,1,., M −1 图4-26(P.152)

(M-1)0o2平面Zo = Agej% = Ao6boZ1zoz1 = A.Wolej(0+0)LWoZh = AWo-kej(0+koo)ZM-1 = AWα(M-1)eJ[(+(M-1)0]图4-26(P.152)

图4-26(P.152) 0 0 0 0 0   = =   z A e A j 1 ( ) 1 0 0 −  0 +0 = j z A W e ( ) 0 0 0 0 k j k k z A W e − + = ( 1) [ ( 1) ] 1 0 0 − −  0 + − 0 − = M j M M z A W e z1

参数几何意义1）A。：zol，（A≤1)，取样起始点的矢量长度2）：argzo（>0/0,z,的路径为逆时针旋转bod1,z,的路径是向内弯曲W。=1，z,的路径是半径为A,的一段圆弧A=1时，即单位圆上的一部分

6 / 30 1) A0 ： z0 , (A 1), 取样起始点的矢量长度 参数几何意义 2) 0 ： argz0 , ( 0 /  0), 取样起始点的相角（角频率） 3) 0 ： 取样点zk ,zk+1间的角频率差 0  0, zk的路径为逆时针旋转 0  0, zk的路径为顺时针旋转 4) W0 ： 取值决定zk的路径是向内/外盘旋 W0 1, zk的路径是向外弯曲 W0 1, zk的路径是向内弯曲 W0 =1, zk的路径是半径为A0的一段圆弧 A0 =1时, 即单位圆上的一部分

1) A. = 1, . = 02元2) W。=1, Φ> X(z)= X(k)= DFT[x(n))N3) M=Nk =0,1.... N-1:DFT也可视为CZT的一种特例一般情况：N-1x(n)A-nW nkX(z) =(4-62)L0≤k≤M-1n=0利用公式：[n2 +k? -(k-n)’]nk =1

7 / 30 1) 1, 0 A0 = 0 = ( ) ( ) [ ( )] 2 2) 1, 0 0 X z X k DFT x n N W = = ⎯→ k = =   3) M = N k = 0,1,., N −1 ∴DFT也可视为CZT的一种特例 一般情况：  − = − = 1 0 ( ) ( ) N n n nk X zk x n A W 0  k  M −1 (4-62) 利用公式： [ ( ) ] 2 1 2 2 2 nk = n + k − k − n

式(4-62)变为：+k2-(k-n)"]nkN-1X(z)=Zx(n)A-"Wkn=0k2n2N-112W 2x(n)A-"W2wn=0k2 N-1n-)(k-n)22=WZ[x(n)A-"w 2iWn=0k2 N-1=W2Ef(n)h(k -n)k =0,1..., M-1式中:n=0n?(4-65)An=0,1.. N-1f(n)=x(n)A-nW 2n =01...., N-1n?nAk = 0.1.... M -1n=?2h(n)=WW=1时-N+1≤-n≤0角位移n'@对时间序数n的微分值为nΦ-N+1≤k-n≤M-12瞬时频率随时间成线性变化→ChirpSignal→CZT

2 2 1 1 2 ( ) 2 2 2 0 ( ) N n k k n n n x n A W W W − − − − = =  式(4-62)变为：  − = − − − = 1 0 ( ) 2 1 2 2 2 2 2 [ ( ) ] N n k n n n k W x n A W W  − = = − 1 0 2 ( ) ( ) 2 N n k W f n h k n k = 0,1,., M −1 (4-65) 式中： 2 2 ( ) ( ) n n f n x n A W −  = ( ) 2 2 2 0 2 ( ) n h n W e j n = =   − n = 0,1,., N −1 2 0 0 n 2 n Chirp Signal CZT n → →  角位移 对时间序数 的微分值为  瞬时频率随时间成线性变化 n = ? W0=1时  − = − = 1 0 ( ) ( ) N n n nk X zk x n A W [ ( ) ] 2 1 2 2 2 nk = n + k − k − n 1 1 1 0 0,1,., 1 0,1,., 1 − +  −  − − +  −  = − = − N k n M N n k M n N

N-1nX(zk)=Zx(n)A-"WnkAf(n)=x(n)A-nW 2n=0k?N-1nnidpo=W 2Zf(n)h(k-n)h(n)=Wen=0k = 0,1..., M -1f(n)g(k)x(n),X(z),贝Xh(n)n=0,1,..,N-1k=0,1.....M-1n?k22W 2A-nw图4-27CZT的运算流程图注意这里的g(k)，是因为定义是X(zk)，是频域序列按常规卷积定义是x(n)*h(n)=y(n)，是时域序列

h(n) X(zk ), k=0,1,.,M-1 x(n), n=0,1,.,N-1 2 2 n n A W − 2 2 k W f(n) 图4-27 CZT的运算流程图 g(k) 2 2 ( ) ( ) n n f n x n A W −  = ( ) 2 2 2 0 2 ( ) n h n W e j n = =   −  − = = − 1 0 2 ( ) ( ) 2 N n k W f n h k n  − = − = 1 0 ( ) ( ) N n n nk X zk x n A W k = 0,1,., M −1 注意这里的g(k)，是因为定义是X(zk )，是频域序列 按常规卷积定义是x(n)*h(n)=y(n)，是时域序列

x(n),三、运算/实现X(-n),n)g(k)h(n)n=0,1,...,N-1步骤k=0,1,....M-1k2n2A-"W2W2(1)要求[X(z)]nAo,0,Wo, → A-"w 2n=0,1... N-1n?x(n),0≤n≤N-12Wf(n), 0≤n≤N-1h(n), Vnx一N(2)计算 f(n)*h(n),n=0,1,..,M-1f'(n)补零至L点f(n),0≤n≤N-1f(n)*h(n)L>N+M-Ih(n),-(N-I)≤n≤ M-1h(n)×—3log,+1L=2v2(3)计算 F(r)H(r)

10 / 30 , , , , 0,1,., 1 2 0 0 0 0 2 → = − − A W A W n N n n   三、运算/实现 步骤： x(n), 0  n  N −1 f (n), 0  n  N −1 (1)要求[X(zk )] 2 2 n W − h(n),n (2)计算 f(n)*h(n)， n=0,1,.,M-1 h(n),−(N −1)  n  M −1 f (n),0  n  N −1  2 1 =  + − L L N M 补零至L点 f (n) h(n) f (n)h(n) L L l  log2 + 2 —3 —N (3)计算 F(r)H(r) h(n) X(zk ), k=0,1,.,M-1 x(n), n=0,1,.,N-1 2 2 n n A W − 2 2 k W f(n) g(k)

I(n)(a)f(w)[A--.W.r(n),0<n≤N-1f()mLO.NSnSL-111(6)N-1F(rFr2-~0≤11(c)L-1w-(d)M-1N+14h(n)W-,/0≤M-1h(n):-U-nL-N+1<<L-任意，ML-N任意的(e)M-1N+1H)H(r)=E(m)e-0<≤L-1yL-1IGG(r)-F(r).H(r),0<r<L-1(g)L-1g(t)g(6)-E'C(r)etRu(E0<<M-1不用(h)ML-1kIx(a)X()-g()w/.0≤<M-1山()0M-1L