《数字信号处理》课程教学课件（2020讲稿）第三章 离散傅里叶变换 §3-3 离散傅里叶级数（DFS）

第三章 离散傅里叶变换

S 3-3 离散傅里叶级数(DFS)一、DFS变换的推导由DTFT推导DFT+8x(n)e-jon由DTFTX(ej°)= Zn=-00: X(ej°) = X(ej(0+2元)):. 令X(ejo)= X(ej)假定x(n)=0，当nN-1 (有限长)N-1X(ej)=Zx(n)e-jonn=02元kN-112=X(k+N) (3-11)X(k)=X(ej))x(n)e2元0n=0N0≤k≤N-1采样，周期性离散频率函数时域序列周期化

一、DFS变换的推导 ( ) ( )  (2 )  j j  X e X e ( ) ( ) ~ j j X e X e △ 令  假定 x(n)  0, 当n  0, n  N 1 (有限长)      1 0 ( ) ( ) ~ N n j j n X e x n e   1 2 2 0 ( ) ( ) | ( ) ( ) (3 11) N j kn j N k N n X k X e x n e X k N                 △      n j j n X e x n e   由DTFT ( ) ( ) 0  k  N 1 由DTFT推导DFT 采样，周期性离散频率函数 时域序列周期化

S 3-3 离散傅里叶级数(DFS)由 x(n+N)=x(n),N～周期0≤n≤N-1x(n)=x(n),(2元N-1可见 (n)→(k)-kX(k)=N(3-11)x(n)en=0问题 X(k)?>x(n)AN-2元-k12X(k)eNx'(n):Nk=0N.N-1代入（3-11）式N(2x(m)Nk=0m=02元k(n-m)N-1N-11Zx(m)ZNCNk=0m=0

由 ~x (n  N)  ~x (n), N ~ 周期 ( ) ( ), 0 1 ~x n  x n  n  N       1 0 2 ( ) ~ ( ) ~ N n kn N j X k x n e  （3-11） 可见 ( ) ~ ( ) ~x n  X k 问题 ( ) ~ ( ) ~X k ？ x n 代入（3-11）式      1 0 2 ( ) 1 ~ ( ) ~ N k kn N j X k e N x n △  令         1 0 1 2 0 2 ( ) ) ~ ( 1 N k kn N j N m km N j x m e e N   1 1 2 ( ) 0 0 1 ( ) N N j k n m N m k x m e N          

S 3-3离散傅里叶级数(DFS)N-1△N-1;2"k(n-m)2元knN-1/1Zx(m)NNSX(k)e'(n)eNNk=0m=0k=0可以证明2元N-11n=m+Nl1k(n-m)ZN正交定理e0n+m+NlNk=02元WA21knNX(k)ex(m)= x(n)x'(n)NNk=0m=0n=m2元N爱一X(k)eN(3-13):. x(n)Nk=0X(k)→x(n)

可以证明 1 2 ( ) 0 1 1 0 N j k n m N k n m Nl e N n m Nl               1 2 1 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) N N j kn N k m n m x n X k e x m x n N N                        △      1 0 2 ( ) 1 ~ ( ) ~ N k kn N j X k e N x n  （3-13） ( ) ~ ( ) ~X k  x n 1 1 2 ( ) 0 0 1 ( ) N N j k n m N m k x m e N       ( ) ( )     N j kn N k x n X k e N - p = ¢ = å 1 2 0 1 % % △ 正交定理

S 3-3离散傅里叶级数(DFS)结合（3-11）、（3-13）式，x(n)X(k)为方便起见，令21△->W\因子W=eDFS变换：N-x(n)W, VkX(k)= DFS[x(n)]= Z3n=0x(n)=IDFs[X(k)]-X(k)W-", Vn

结合（3-11）、（3-13）式， ( ) ~ ( ) ~ x n X k DFS 因子 △ N N j WN e W  2 为方便起见，令 DFS变换：         1 0 ( ) , ~ ( ) ~ ( ) ~ N n kn N X k DFS x n x n W k △          1 0 ( ) , 1 ~ ( ) ~ ( ) ~ N k kn N X k W n N x n IDFS X k △

S3-3离散傅里叶级数(DFS)1DFS例题：习题集P37已知x(n)=(14 12 10 ８６ 10}，求DFSN-Ix(n)W kn解: X(k)= DFS[(n)]=ZVkAFn=0-nk=Zx(n)W"=2x(n)en=0n=0X(0) = 60X(3) = 0X(4) =3- jV3X(1)=9- j3/3X(2) =3+ jV3X(5) =9 + j3 V3

DFS例题：习题集P37 1     1 0 5 5 2 6 6 0 0 ( ) 14 12 10 8 6 10 DFS ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) (0) 60 (3) 0 (1) 9 3 3 (4) 3 3 (2) 3 3 (5) 9 3 3 N kn N n j nk kn n n x n X k DFS x n x n W k x n W x n e X X X j X j X j X j                                      已知 ，求 解：

S 3-3离散傅里叶级数(DFS)二、DFS的主要性质1.线性特性x,(n) = ax,(n)+bx2(n)迭加原理X,(k) = DFS[ax (n)+ bx,(n)]= aX,(k)+ bX,(k)2.移位特性（1）时域移位若x(n)X(k),则x(n -m)W X(k)（2）频域移位若X(k)x(n),则X(k -I)W="x(n)

二、DFS的主要性质 1.线性特性 迭加原理 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 3 1 2 x n  ax n  bx n   ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 3 1 2 1 2 X k  DFS ax n  bx n  aX k  bX k 2.移位特性 （1）时域移位 ( ) ( ), ( ) ( ) DFS DFS mk N x n  X k x n  m W X k   若 则 （2）频域移位 ( ) ( ), ( ) ( ) IDFS IDFS nl X N k x n X k l W x n   若   则    

S 3-3离散傅里叶级数(DFS)3.周期卷积特性（1）时域Vx(n)<DFS →X;(k), (n)<DFSX,(k)比较：X(k)= X,(k)X,(k)+8*NIDFS m=-00x(n)=Zxx,(m)x,(n-m)ZC仅一个周期m=0N-1m=0Z(m)(n-m)x(n) = x(n+ N)m=0=(n)x(n) →周期卷积时域周期卷积←→频域相乘

3.周期卷积特性 ( ) ~ ( ) ~ ( ), ~ ( ) ~ 1 1 2 2 x n X k x n X k  DFS DFS （1）时域 ( ) ~ ( ) ~ ( ) ~ 1 2 X k  X k X k IDFS 1 1 2 0 ( ) ( ) ( ) N m x n x m x n m        1 2 1 0 ( ) ( ) N m x m x n m        ( ) ~ ( ) ~ 1 2  x n x n 周期卷积 比较： *   m 1 0 N m   仅一个周期 ( ) ~ ( ) ~x n  x n  N 时域周期卷积频域相乘

S 3-3离散傅里叶级数(DFS)3.周期卷积特性（2）频域)=X(k) X,(k)x(n) =x(n)x,(n)<DFS →X(k) N时域相乘←→频域周期卷积

（2）频域 1 2 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) DFS x n x n x n X k X k X k N          时域相乘频域周期卷积 3.周期卷积特性

S 3-3离散傅里叶级数(DFS)周期卷积计算例题课本P75(z,(n)(e)0mNT1C-N2(n)1(6)(f)-27NN71工(m）(c)mN-11(0一m）(a)7NNN-17210周期卷积图3-5

周期卷积计算例题 课本P75