《数字信号处理》课程教学课件（2020讲稿）第二章 离散时间信号与系统分析基础 §2-6 DTFT的对称性质

第二章离散时间信号与系统分析基础

第二章 离散时间信号与系统分析基础

§2-6 DTFT的对称性质 一、几个术语 1.对任意实序列： 1.x(n)为实序列，若x(n)=x(-n),则称偶对称 记为：x2(n)=x2(-n) even 2.x(n)为实序列，若x(n)=-x(-n),则称奇对称 记为：x。(n)=-x。(-n) odd

3 / 30 一、几个术语 1.对任意实序列： 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e o o x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n           为实序列，若 ，则称偶对称 记为： 为实序列，若 ，则称奇对称 记为： even odd

S2-6DTFT的对称性质一、几个术语1.对任意实序列3.x(n)为实序列[x(n)+x(-n) |是偶序列2即: x(n)=[x(n)+x(-n) ],言[x(n)-x(-n) J是奇序列4.x(n)为实序列,[x(n)-x(-n) ]即： x。(n)== x(n)= x(n)+x。(n)结论：任一实序列可由偶序列和奇序列之和构成

一、几个术语 1.对任意实序列：         1 3. ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 4. ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) e o e o x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n              为实序列， 是偶序列 即： 为实序列， 是奇序列 即： 结论：任一实序列可由偶序列和奇序列之和构成

S2-6DTFT的对称性质一、几个术语2.对任意复序列：1.x(n)为复序列，若x(n)= x*(-n)，则称共轭对称记为: x(n)= x*(-n)2.x(n)为复序列，若x(n)=-x*(-n)，则称共轭反对称记为： x(n)=-x*(-n)

5 / 30 一、几个术语 2.对任意复序列： 1. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e e o o x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n               为复序列，若 ，则称共轭对称 记为： 为复序列，若 ，则称共轭反对称 记为：

S2-6DTFT的对称性质一、几个术语2.对任意复序列：3.x(n)为复序列x(n)+x(-n）是共轭对称序列即: x(n)=二[x(n)+x(-n) ][x(n)-x（-n)是共轭反对称序列4.x(n)为复序列,即: x。(n)=x(n)-x*(-n)= x(n)= x(n)+x。(n)结论：任一复序列可由共轭对称序列和共轭反对称序列之和构成

6 / 30 一、几个术语 2.对任意复序列： 1 3. ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 4. ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) e o e o x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n x n                                  为复序列， 是共轭对称序列 即： 为复序列， 是共轭反对称序列 即： 结论：任一复序列可由共轭对称序列和共轭反对称序列 之和构成

S2-6DTFT的对称性质3.DTFT的共轭对称与共轭反对称：DTFT离散时间傅里叶变换X(ei)= Z x(n)e-jion7n=-00x(n)= 2 [", x(e')erndoX(ejo) = X.(ej°)+ X.(ej)函数[X(ej°)+ X*(e-j°) [是共轭对称X.(eJa即: X。(ej°)= X*(e-j°)X(ej°)-X*(e-jo)是共轭反对称函数X.(ejo)-即: X,(ej°)=-X(e-j°)

7 / 30 3.DTFT的共轭对称与共轭反对称：       ( ) 1 2 j j n n j j n DTFT X e x n e x n X e e d                      离散时间傅里叶变换 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( ) j j j e o j j j e j j e e j j j o j j o o X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e X e                                       是共轭对称函数 即： 是共轭反对称函数 即：

S2-6DTFT的对称性质二、DTFT的对称性质：DTFT[x(n)]= X(ej°)DTFT离散时间傅里叶变换DTFT[x (n)]= X*(e-"0)X(ej)= Z x(n)e-jonDTFT[x*(-n)}= X*(ejox(n)X(ej°)[" x(ej)ejondox(n)=即:x(n)X"(e-j0)x(-n)αX*(ejo)证明：+00Z1.DTFT[x (n)]= Z x(n)e-jonx(n)ejo"| =[X(e-0)} = X"(e-10)n=-00-+00+002.DTFT[x(-n)]= Z x(-n)e-on = Zx(m)e-jomZjomx*(m)e)m=-00m=-00n=-+80Zx(n)e-jon =[X(e')] =X"(e"0)Jn=-α

二、DTFT的对称性质：       ( ) 1 2 j j n n j j n DTFT X e x n e x n X e e d                      离散时间傅里叶变换             1. ( ) ( ) 2. ( ) ( ) ( ) ( ) j n j n j j n n j n j m j m n m m j n j j n DTFT x n x n e x n e X e X e DTFT x n x n e x m e x m e x n e X e X e                                                                                             证明：                         j j j j j j DTFT x n X e DTFT x n X e DTFT x n X e x n X e x n X e x n X e                                     即：

S2-6 DTFT的对称性质DTFT离散时间傅里叶变换x(n)αX(ejg)X(ej)- Z x(n)e-jonx (n)αX*(e-j0)-=x (-n)α X"(ej)x(n) =[", X(e)en doRe{x(n)=[x(n)+x (n)][X(e')+X(e-)]=X.(e)j Im(x(n)=[x(n)-x(n)][X(e)-X(e-")]=X,(e')x (n)=[x(n)+x(-n)]←[X(e)+X(e)]=Re[X(e")x,(n)=[x(n)-x(-n)]←[X(e')-X(e)]=j Im[X(e)

9 / 30       ( ) 1 2 j j n n j j n DTFT X e x n e x n X e e d                      离散时间傅里叶变换                               1 1 Re ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 Im ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 ( ) ( ) Re ( ) 2 2 1 1 ( ) ( ) Im ( ) 2 2 j j j e j j j o j j j e j j j o x n x n x n X e X e X e j x n x n x n X e X e X e x n x n x n X e X e X e x n x n x n X e X e j X e                                                                                         j j j x n X e x n X e x n X e            

S2-6DTFT的对称性质实序列:x(n)X(ej°)x(n)αX(ej°)1.x(n) = x*(n)= X(ej°)= X*(e-j°)x (n)αX (e-j)X(ej°) = Re [X(ej)) + j Im (X(ej°))x(-n)αX(ei)2.X*(e-j°)= Re{X(e-j°))- j Im(X(e-j°)Re { X(ej°)) = Re (X(e-j0)实部相等U虚部相等[Im (X(ej°) = - Im [X(e- j°))偶函数，虚部是奇函数X(ej°)实部是3.极坐标形式：X(e)=|X(e) em[x(e")]幅度是o的偶函数X(ej)=X(e-j°)相位是的奇函数argX(ej°）=-argX(e-j°）

10 / 30                       arg ( ) ( ) 1. ( ) ( ) ( ) Re ( ) Im ( ) 2. ( ) Re ( ) Im ( ) Re ( ) Re ( ) Im ( ) Im ( ) ( ) 3. ( ) ( ) j j j j j j j j j j j j j j j j X e j j x n X e x n x n X e X e X e X e j X e X e X e j X e X e X e X e X e X e X e X e e                                                       实序列: 实部是偶函数，虚部是奇函数 极坐标形式： 幅度是 ( ) ( ) arg ( ) arg ( ) j j j j X e X e X e X e                   的偶函数 相位是 的奇函数             j j j x n X e x n X e x n X e             实部相等 虚部相等