《统计信号处理 Statistical Signal Processing》课程电子教案（2018讲稿）第三章 信号检测理论

第三章信号检测理论引言第一节问题提出：判决：匹配滤波器+人→早期雷达自标检测：存在问题：人的可持续性及客观性希望：判决？观测+机器/计算机问题：机器如何能够利用“人”的认知机器如何能够不断学习（更高要求）需要一种面向机器自动完成的判决理论假设检验理论：信号检测理论

2 / 30 第三章 信号检测理论 第一节 引言 问题提出： 早期雷达目标检测：匹配滤波器 + 人  判决 存在问题：人的可持续性及客观性 希望：观测 + 机器/计算机  判决 ？ 问题：机器如何能够利用“人”的认知 机器如何能够不断学习（更高要求） 需要一种面向机器自动完成的判决理论 假设检验理论：信号检测理论

第二节二元假设检验假设：某种可能情况的陈述检验：关判定哪种假设是真的二元：两个、两种情况/假设“1")比如：H,:x=S,+n“0"H。 :x= So +n或者，H, : x~p(x)H。 : x~po(x)二元假设检验的图形化表示（板图）p(x)Po(x)：似然函数(Likelihood Function)

3 / 30 第二节 二元假设检验 假设：某种可能情况的陈述 检验：判定哪种假设是真的 二元：两个、两种情况/假设 比如： 或者， 1 1 0 0 : 1 : 0 H H     x s n x s n “” “ ” 1 1 0 0 : ~ ( ) : ~ ( ) H p H p x x x x 1 0 p p ( ) ( ) x x 、 ：似然函数(Likelihood Function) 二元假设检验的图形化表示（板图）

第二节二元假设检验几个概念：先验概率：P(Ho)后验概率：P(Hox)D。IH,:漏警或漏报DIH,:检测或发现D.IH.:? ? ?DIH。:虚警或虚报检测概率：P,≤P(D,/H)=[,Pi(x)dx,，H为真，也判H为真的概率漏报概率：: PM ≤ P(D。IH)=1-P,=[, P(x)dxP, = P(D,/Ho)=J, Po(x)dx虚警概率：???Po。≤ P(D I Ho)=1-P, = J, Po(x)dx

4 / 30 第二节 二元假设检验 几个概念： 先验概率：P(H0) 后验概率：P(H0|x) 检测概率： 漏报概率： 虚警概率： ？？？ 1 1 0 1 1 0 0 0 | : | : | : | : D H D H D H D H 检测 虚 或 现 警 发 或虚报 漏警或漏报 ？？？ 1 1 1 1 1 1 ( | ) ( ) D R P P D H p d   x x，H H 为真，也判 为真的概率 0 0 1 1 ( | ) 1 ( ) M D R P P D H P p d     x x 1 1 0 0 ( | ) ( ) F R P P D H p d   x x 0 00 0 0 0 ( | ) 1 ( ) F R P P D H P p d     x x

第三节最佳检测准则及其判决规则概念：检测准则：#指标、目标、愿望、理想判决规则：实现上述准则或愿望的具体做法以雷达检测为例，P，个→判决门限=→P，个→不可接受！如何解决这个盾？利用雷达检测的特点？3.1奈曼-皮尔逊(Neyman-Pearson)准则及其判决规则准则：max Pp→非线性规划问题min PMnP,≤αs.t. Pe ≤αs.t.↑→无约束求极值问题min L(R.)= Py +μP,Ro

5 / 30 第三节 最佳检测准则及其判决规则 概念： 检测准则：指标、目标、愿望、理想 判决规则：实现上述准则或愿望的具体做法 以雷达检测为例， 如何解决这个矛盾？利用雷达检测的特点？ 3.1 奈曼-皮尔逊(Neyman-Pearson)准则及其判决规则 准则： P P D F     判决门限 不可接受！ 0 min ( ) max min F M F D M F L R P P P P s.t. P s.t. P           无约束求极值问题 非线性规划问题 R0

第三节最佳检测准则及其判决规则1将P、P,的表达式带入,L(R)可表示为L(R,)=[, p(x)dx + μ(1- [, Po(x)dx)= μ+Jβ (p(x)-μpo(x)dx→minRo的确定：？Vx, p(x)- μp.(x) ≥0 →xE R = DVx, p(x)- μp.(x)<0 →xE Ro = D↑EAIVp(x，u:P=αuPo(x)H.EAP(x)即,。:P,=α→似然比检验(LRT)A(x)po(x)H

6 / 30 第三节 最佳检测准则及其判决规则 R0的确定：？ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 ( )= ( ) ( ) (1 ( ) ) ( ( ) ( )) min M F R R R L R P P L R p d p d p p d             x x x x x x x 将 、 的表达式带入, 可表示为 1 0 1 0 1 1 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 p p R p p R D D               x x x x x x x x , , 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 ( ) , : ( ) ( ) , : ( ) ( ) ( ) F H F H H H P LRT p P p p p            x x x x x 即 似然比检验

第三节最佳检测准则及其判决规则2,的确定： : P,=α→P,=po(A)dA =αdx:3.2最大后验概率准则及其判决规则（MAP准则）背景：Shannon（香侬）1948年提出了信息论后验概率：P(Hix）、P(Hox）理想接收机：能够给出/计算后验概率MAP准则：H,P(H, /x)≥P(H。Ix)H.判决规则：？

7 / 30 第三节 最佳检测准则及其判决规则 3.2 最大后验概率准则及其判决规则(MAP准则) 背景：Shannon(香侬)1948年提出了信息论 后验概率：P(H1|x)、 P(H0|x) 理想接收机：能够给出/计算后验概率 MAP准则： 判决规则：？ 1 0 0 0 0 0 : ( ) ( ) F F R P P p d p d                x x 的确定： 1 0 1 0 ( | ) ( | ) H H P H P H x x

第三节最佳检测准则及其判决规则根据贝叶斯公式：P(H, /x) = P(H, x) /P(x)=P(x/H,)P(H,) /P(x)=p, (x) dxP (H,) /p (x) dx=p,(x) P (H,) /p (x)P(H。 I x) = P(Ho, x) /P(x)=P(x|H。)P(H。) /P(x)=Po(x) dxP (H。) /p (x) dx=Po(x) P(H。) /p(x)判决规则：H,HP(H, /x)≥P(H。 /x) Pi (x) P(H) /p(x)≥Po (x) P(H) /p(x)H.H.↑HP(H。)P(x)H(x)≥。→ LRT!P(H,)Po(x)HHoP(H.)P(H)S4,5=P(H.)P(H)1-51-P(H。)

8 / 30 第三节 最佳检测准则及其判决规则 根据贝叶斯公式： 判决规则： 1 0 1 0 ( | ) ( ( | ) ( P H P H P H P H   x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 ， )/P( )=P( |H )P(H )/P( ) =p ( )d P(H )/p( )d =p ( )P(H )/p( ) ， )/P( )=P( |H )P(H )/P( ) =p ( )d P(H )/p( )d =p ( )P(H )/p( ) 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 ( | ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) 1- ( ) 1- ( ) ! H H H H H H H H P H P H p P H p P H P H P H P H P H P H x LRT            x x x x x x x x 1 1 0 0 p ( )P(H )/p( ) p ( )P(H )/p( )

第三节最佳检测准则及其判决规则3.3最小错误概率准则及其判决规则（MinPe准则）背景：通信信号检测问题关注点：错误率低，即错误概率小错误概率：PM、PF？要求：PM→、Pe?做不到！PM +P,2行不通！如何解决？P(H,)PM +P(H,)P (1-G)Pu +≤P, →平均错误概率MinPe准则：使平均错误概率最小的准则MinP,=(1-)PM +PP

9 / 30 第三节 最佳检测准则及其判决规则 3.3 最小错误概率准则及其判决规则(MinPE准则) 背景：通信信号检测问题 关注点：错误率低，即错误概率小 错误概率：PM、PF ? 要求： 做不到！ 行不通！ 如何解决？ MinPE准则：使平均错误概率最小的准则 1 0 ( ) ( ) (1 ) P H P P H P P P M F M F         平均错误概率 ? ? M F M F P P P P     、 (1 ) MinP P P E M F  

第三节最佳检测准则及其判决规则MinPe判决规则：MinPe =(1-)P(R)+P,(R)-→RRo将PM、PF的表达式代入，有Pe =(1-≤)PM(R)+P,(R)=(1-)[, Pi(x)dx+5(1- [, Po(x)dx)= +[, [(1-5)p(x)-5 po(x)]dx →min+RoVx,(1-)p(x)-5p.(x)≥0 →xE R = DRo的确定：Vx,(1-5)p(x)-5p.(x)<0 →xe Ro = Do

10 / 30 第三节 最佳检测准则及其判决规则 MinPE 判决规则： 将PM、PF的表达式代入，有 R0的确定： 0 0 0 (1 ) ) ( ) MinP P P E M F      （R R R  R0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 (1 (1 ) ) ( ) = (1 ) ( ) ( ) ) [(1 ) ( ) ( )] min E M F R R R P P P R R p d p d p p d R                       x x x x x x x （ 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 (1 ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) R p p R p p D D                   x x x x x x , x x

第三节最佳检测准则及其判决规则MinPe判决规则：↑HHp,(x)S≤ A(x)≥0一→也是LRT！1-2Po(x)UH.5:,5= P(H。)21-C可见，MAP准则与MinPE准则的判决规则完全相同，那么两个准则也相同吗？回答上述问题，有赖于下面要介绍的贝叶斯准则。3.4 贝叶斯（Bayes）准则及其判决规则Bayes准则：使平均代价（C）最小的准则

11 / 30 第三节 最佳检测准则及其判决规则 MinPE 判决规则： 可见，MAP准则与MinPE 准则的判决规则完全相同，那么两个准 则也相同吗？ 回答上述问题，有赖于下面要介绍的贝叶斯准则。 3.4 贝叶斯（Bayes）准则及其判决规则 Bayes准则：使平均代价( )最小的准则 1 0 1 0 1 0 0 0 0 ( ) ( ) 1- , ( ) 1- ( ) ! H H H H p p P T H LR           x x x 也是 C