哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 随机变量及其分布（2.6）例题精选

例题精选 例1为保证设备正常工作,需要配备适量 的维修人员.设共有300台设备,每台的工 作相互独立,发生故障的概率都是0.01.若 在通常的情况下,一台设备的故障可由 人来处理.问至少应配备多少维修人员, 才能保证当设备发生故障时不能及时维修 的概率小于0.01 我们先对题目进行分析:回回风

例题精选 例1 为保证设备正常工作，需要配备适量 的维修人员 . 设共有300台设备，每台的工 作相互独立，发生故障的概率都是0.01.若 在通常的情况下，一台设备的故障可由一 人来处理 . 问至少应配备多少维修人员， 才能保证当设备发生故障时不能及时维修 的概率小于0.01? 我们先对题目进行分析：

300台设备,独立工作,出故障概率都是 0.01.一台设备故障一人来处理 问至少配备多少维修人员,才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01? 设X为300台设备同时发生故障的台数, 300台设备,独立工作,每台出故障概率 p=0.01.可看作n=300的贝努里概型 可见,X~b(n2p),=300,p=0.01 回回

300台设备，独立工作，出故障概率都是 0.01. 一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01? 设X为300台设备同时发生故障的台数， 300台设备，独立工作，每台出故障概率 p=0.01 . 可看作n=300的贝努里概型. 可见， X~b(n,p)，n=300, p=0.01

300台设备,独立工作,出故障概率都是 0.01.一台设备故障一人来处理 问至少配备多少维修人员,才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01? 设X为300台设备同时发生故障的台数, X~b(n2yp),n=300,p=0.01 设需配备N个维修人员,所求的是满足 PX>N0.99 的最小的N 回回

300台设备，独立工作，出故障概率都是 0.01 . 一台设备故障一人来处理. 问至少配备多少维修人员，才能保证当设 备发生故障时不能及时维修的概率小于0.01? 设X为300台设备同时发生故障的台数， X~b(n,p)，n=300, p=0.01 设需配备N个维修人员， 所求的是满足 P(X>N) < 0.01 或 P(X N) 0.99   的最小的N

下面给出正式求解过程: 解:设X为300台设备同时发生故障的台数, X-b(m2p),n=300,p=0.01 设需配备N个维修人员,所求的是满足 PX>N)<0.01的最小的N PCXN)=∑c0096 k=N+1 n大,p小,np=3, 300k 用入=p=3 k=N+1 k 的泊松近似 k=N+1 kI 回回

解：设X为300台设备同时发生故障的台数， X~b(n,p)，n=300, p=0.01 设需配备N个维修人员， 所求的是满足 P(X>N) N) k k k N k C − = + =  300 300 1 300(0.01) (0.99) = + −  300 1 3 ! 3 k N k k e n大,p小,np=3, 用 =np=3 的泊松近似 λ 下面给出正式求解过程：   = + −  1 3 ! 3 k N k k e

我们求满足∑<00的最小的N k=N+1 查书末的泊松分布表得 3ok 30k 0.0038 ∑=≈0012 k=8 k! N+1≥9,即N≥8 即至少需配备8个维修人员 回回

即至少需配备8个维修人员. 查书末的泊松分布表得 N+1 9,  即N  8 我们求满足   = + −  1 3 0.01 ! 3 k N k k e 的最小的N. 0.0038, ! 3 9 3   = −  k k k e 0.012, ! 3 8 3   = −  k k k e

例2X具有离散均匀分布,即 PX=x1)=1/n,12,…,n,求X的分布函数 解:将X所取的m个值按从小到大的顺序 排列为 ()x()<…≤x(m 显然,x<xa时,F(ax)=P(X≤x)=0, xx<x2时,F(x)=PKx)=1/ x2≤xx3时,F()=P(Kx)=2/m, 回回

例2 X具有离散均匀分布，即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,…，n， x  (1)  x< x(2)时，F(x)=P(X x  )=1/n, x  (2)  x< x(3)时，F(x)=P(X x  )=2/n,  显然，x < x(1)时，F(x)=P(X x  )=0, 解：将X所取的n个值按从小到大的顺序 排列为： 求X的分布函数. x(1)  x(2)  … x  (n)

例2X具有离散均匀分布,即 P(X=x;)=1/mn,i=1,2, n, 求X的分布函数 解:将X所取的n个值按从小到大的顺序 排列为: x(x(2)<…≤(m) xo <xoxo+时,F(x)=P(X≤x)=Mm, x≥xm时,F(x)=P(Xx)=1 回回

 x(k)  x< x(k+1)时，F(x)=P(X x  )=k/n,  x x  (n)时，F(x)=P(X x  )=1 解：将X所取的n个值按从小到大的顺序 排列为： 求X的分布函数. x(1)  x(2)  … x  (n) 例2 X具有离散均匀分布，即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,…，n

例2X具有离散均匀分布,即 PX=x)=1/,G=1,2,…,m,求X的分布函数 于是得 0k—n 当x<min(x…;xn) 当x≥mim(x1;xn),且x(=1,2;m)中 F(x)= 恰有k个不大于x remax(x cu) 这个结果在数理统计中有用 回回

于是得            =  = 1, max( , , ) , min ( , , ), ( 1,2, , ) 0, min ( , , ) ( ) 1 1 1 n n j n x x x k x x x x x j n n k x x x F x     当 恰有 个不大于 当 且 中 当 这个结果在数理统计中有用. 例2 X具有离散均匀分布，即 P(X=xi )=1/n, i=1,2,…，n， 求X的分布函数

例3设rvX的密度函数为f(x) x2,-1<x<1 f(x)=n 求F(x) 0,其它 解:F(y)=PxX≤)=广f()h 回回

例3 设r.v X 的密度函数为 f (x)     − −   = 0, 其它 1 , 1 1 2 ( ) 2 x x f x  求 F(x). F(x) = P(X x) = − x 解：  f (t)dt

1-x2.-11,F(x)=1 回回

求 F(x). 解： 对x 1， F (x) = 1     − −   = 0, 其它 1 , 1 1 2 ( ) 2 x x f x 