哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 第四节 矩、协方差矩阵

←概率论 第四节矩、协方差矩阵 原点矩中心矩 协方差矩阵 ⑤n元正态分布的概率密度 小结布置作业

概率论 第四节 矩、协方差矩阵 原点矩 中心矩 协方差矩阵 n 元正态分布的概率密度 小结 布置作业

←概率论 原点矩中心矩 定义设X和Y是随机变量,若 E(X),k=1 存在,称它为X的k阶原点矩,简称k阶矩 若E{[X-E(X)},k=2,3 存在,称它为X的k阶中心矩 可见,均值E(X)是X一阶原点矩,方差D(X) 是X的二阶中心矩

概率论 一、 原点矩 中心矩 定义 设X和Y是随机变量，若 E(X k ),k =1,2,  存在，称它为X的k阶原点矩，简称 k阶矩 若 E{[X − E(X)]k },k = 2,3,  存在，称它为X的k阶中心矩 可见，均值 E（X）是X一阶原点矩，方差D（X） 是X的二阶中心矩

←概率论 设X和Y是随机变量,若 E(X)k, L=1, 2, 存在, 称它为X和Y的k+L阶混合(原点)矩 若E{X-E(X)Y-E(Y}存在, 称它为X和Y的k+L阶混合中心矩 可见, 协方差Co(X,是X和Y的二阶混合中心矩

概率论 协方差Cov(X,Y)是X和Y的二阶混合中心矩. 称它为 X 和 Y 的 k+L 阶混合（原点）矩. 若 {[ ( )] [ ( )] } k L E X − E X Y − E Y 存在， 称它为X 和 Y 的 k+L 阶混合中心矩. ( ) k L E X Y 设 X 和 Y 是随机变量，若 k,L=1,2,… 存在， 可见

←概率论 二、协方差矩阵 将二维随机变量(X1X2)的四个二阶中心矩 E{X1-E(X1)} C12=E{X1-E(X)[X2-E(X2) C21=E{X2-E(X2)X1-E(X1) E{X2-E(X2)} 这是一个 排成矩阵的形式:112 对称矩阵 称此矩阵为(X1X2)的协方差矩阵

概率论 二、协方差矩阵 将二维随机变量（X1 ,X2）的四个二阶中心矩 {[ ( )] } 2 11 E X1 E X1 c = − {[ ( )][ ( )]} 12 E X1 E X1 X2 E X2 c = − − 排成矩阵的形式: {[ ( )][ ( )]} 21 E X2 E X2 X1 E X1 c = − − {[ ( )] } 2 22 E X2 E X2 c = − 称此矩阵为（X1 ,X2）的协方差矩阵.         21 22 11 12 c c c c 这是一个 对称矩阵

←概率论 类似定义n维随机变量(X1X2,,YXn的协方差矩阵 若 Cov(X,, X) E{x-E(X川X,-E(X,)} i,产=1,2,…,n) 都存在,称 矩阵C=C2 nn 为(X1X2,…,Xn)的协方差矩阵

概率论 类似定义n 维随机变量(X1 ,X2 , …,Xn ) 的协方差矩阵. 为(X1 ,X2 , …,Xn ) 的协方差矩阵 都存在, ( i, j=1,2,…,n ) ( , ) i j Cov Xi Xj 若 c = {[ ( )][ ( )]} = E Xi − E Xi Xj − E Xj               = n n nn n n c c c c c c c c c C        1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 矩阵 称

←概率论 三、n元正态分布的概率密度 设X(X1,X2…X是一个n维随机向量, 若它的概率密度为 f∫(x1x2,…xn) (27) 2IC12 exp(-(X-A)C-(X-F)) 则称X服从n元正态分布 其中C是(X1X2…,YXn)的协方差矩阵 C是它的行列式,C表示C的逆矩阵, X和/是n维列向量,X表示X的转置

概率论 三、n 元正态分布的概率密度 ( ) ( )} 2 1 exp{ (2 ) | | 1 1 2 1 2    = − −  − − X C X C n f (x1 ,x2 , …,xn ) 则称 X 服从 n 元正态分布. 其中C是(X1 ,X2 , …,Xn ) 的协方差矩阵. |C|是它的行列式， C −1 表示C的逆矩阵， X 和 是 n 维列向量，X表示X 的转置. 设 =(X1 ,X2 , …,Xn )是一个n维随机向量, 若它的概率密度为 X

←概率论 n元正态分布的几条重要性质 1.X=(X1Y2,…,X服从n元正态分布 对一切不全为0的实数a1 a1X1+a2X2+…+anYn均服从正态分布

概率论 n元正态分布的几条重要性质 1. X=(X1 ,X2 , …,Xn )服从n元正态分布 a1X1+ a2 X2+ …+ an Xn 均服从正态分布. 对一切不全为0的实数a1 ,a2 ,…,an

←概率论 2.正态变量的线性变换不变性 若X=(X1,X2,…,Xn)服从n元正态分布, H1,HY2…,Yk是X(j=1,2,…,n)的线性函数, 则(Y1,Y2,…,Y也服从多元正态分布 3.设(X1yx2,…Xn)服从n元正态分布,则 “X1,X2,…,Xn相互独立” 等价于 “X1,X2,…,Xn两两不相关

概率论 若 X=(X1 , X2 , … , Xn ) 服从 n 元正态分布， Y1 ,Y2 , …，Yk是Xj（j=1,2,…,n）的线性函数， 则 (Y1 ,Y2 , …，Yk ) 也服从多元正态分布. 2. 正态变量的线性变换不变性. 3. 设(X1 ,X2 , …,Xn )服从n元正态分布，则 “X1 ,X2 , …,Xn相互独立” 等价于 “X1 ,X2 , …,Xn两两不相关

←概率论 例设随机变量X和Y相互独立且X~(1,2), y~N(0,1).试求Z=2X-+3的概率密度 解:XN1,2),YN(0,1),且X与Y独立, 故X和Y的联合分布为正态分布,X和Y的任意线 性组合是正态分布 ZNE(Z, D) E(∠)=2E(X-E(Y)+3-2+3=5 D(Z=4D(X+D()=8+1=9

概率论 例 设随机变量X和Y相互独立且X~N(1,2), Y~N(0,1). 试求Z=2X-Y+3的概率密度. 故X 和Y 的联合分布为正态分布，X 和Y 的任意线 性组合是正态分布. 解: X~N(1,2),Y~N(0,1)，且X 与Y 独立, D(Z)=4D(X)+D(Y)=8+1=9 E(Z)=2E(X)-E(Y)+3=2+3=5 即 Z~N(E(Z), D(Z))

←概率论 z~N(5,32) 故Z的概率密度是 5)2 fz(a 18 <z<00 3√2丌

概率论 故 Z 的概率密度是 , 3 2 1 ( ) 1 8 ( 5) 2 − − = z Z f z e  −  z   Z~N(5, 32 )