哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 随机变量及其分布（2.5）随机变量的函数的分布

←概率论 第五节随机变量的函数的分布 问题的提出 离散型随机变量的函数的分布 连续型随机变量的函数的分布 小结布置作业

概率论 第五节 随机变量的函数的分布 问题的提出 离散型随机变量的函数的分布 连续型随机变量的函数的分布 小结 布置作业

←概率论 问题的提出 在实际中,人们常常对随机变量的函数 更感兴趣 比如,已知圆轴截面直径d的分布, nd 求截面面积A 的分布

概率论 一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数 更感兴趣. 4 2 d 求截面面积 A= 的分布. 比如，已知圆轴截面直径 d 的分布

←概率论 在比如,已知=t时刻噪声电压V的分布 求功率W=PR(R为电阻) 的分布等

概率论 在比如 ，已知 t=t0 时刻噪声电压 V 的分布， 求功率 W=V2 /R ( R 为电阻） 的分布等. t 0 t 0

←概率论 设随机变量X的分布已知,Y=g(X)(设 g是连续函数),如何由X的分布求出Y的 分布? 这个问题无论在实践中还是在理论上都是 重要的 下面进行讨论

概率论 设随机变量 X 的分布已知，Y=g (X) (设 g 是连续函数），如何由 X 的分布求出 Y 的 分布？ 下面进行讨论. 这个问题无论在实践中还是在理论上都是 重要的

←概率论 二、离散型随机变量函数的分布 例1设XC 0.20.50.3 求F=2X+3的概率函数 解:当X取值1,2,5时, Y取对应值5,7,13 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事 件,两者具有相同的概率 5713 故Y 0.20.50.3

概率论 二、离散型随机变量函数的分布 解： 当 X 取值 1，2，5 时， Y 取对应值 5，7，13， 例1 设X       0.3 5 0.2 0.5 1 2 求 Y= 2X + 3 的概率函数. ～       0 3 13 0 2 0 5 5 7 . . . Y ~ 而且X取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事 件，两者具有相同的概率. 故

←概率论 般地,若X是离散型rν,X的分布律为 P1P2∵Pn 则=g(X ∫8(x)8(x2)…g(xn) PI P 如果g(x中有一些是相同的,把它们作适当 并项即可

概率论 如果g ( x k ) 中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可. 一般地，若X是离散型 r.v ，X 的分布律为 X       n n p p p x x x   1 2 ～ 1 2 则 Y=g(X) ～       n n p p p g x g x g x   1 2 1 2 ( ) ( ) ( )

←概率论 如:y-10 0.30.60.1 则F=X的分布律为: 01 Y 60.4

概率论 如： X      − 0.1 1 0.3 0.6 1 0 ～ 则 Y=X2 的分布律为：       0 6 0 4 0 1 . . Y ～

←概率论 三、连续型随机变量函数的分布 例2设X~fx(x)= x/8.0<x<4 0.其它 求Y=2X+8的概率密度 解设Y的分布函数为Fy), Frv=pi Y<y)=P(2X+8<y) =PX≤”8}=FX(”9 于是Y的密度函数 F()≈dF(y) x J-8 22

概率论 三、连续型随机变量函数的分布 解 设Y的分布函数为 FY (y)， 例2 设 X ~      = 0, 其它 /8, 0 4 ( ) x x f x X 求 Y=2X+8 的概率密度. FY (y)=P{ Y y  } = P (2X+8  y ) =P{ X } = FX  ( ) 2 y − 8 2 y − 8 于是Y 的密度函数 2 1 ) 2 8 ( ( ) ( )  − = = y f dy dF y f y X Y Y

x/8.0<x 率论 Nx(r) 0,其它 fy(y) dFy (y) 8、1 fxo Y=2X+8 2 注意到0<x<4时,fx(x)≠0 即8<y<16时,∫ J-8 )≠0 此时fx(卫-8)=少 8 16 y-8 故 f(y)=1328<y<16 0,其它

概率论 ) 0 2 8 (  y − f X 16 8 ) 2 8 ( − = y− y f X 故       − = 0, 其它 , 8 16 32 8 ( ) y y f y Y 2 1 ) 2 8 ( ( ) ( )  − = = y f dy dF y f y X Y Y 注意到 0 < x < 4 时， f X (x)  0 即 8 < y < 16 时， ) 0 2 8 (  y − f X 此时 16 8 ) 2 8 ( − = y − y f X Y=2X+8      = 0, 其它 /8, 0 4 ( ) x x f x X

←概率论 例3设X具有概率密度/(x求YX的概率密度 解设Y和X的分布函数分别为F(y)和F(x), 注意到F=X2≥0,故当y≤0时,F(y)=0 当y>0时,F(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y) =P(y≤X≤√y F(y)-F(-√y) F(y)=P(Y≤y)

概率论 例3 设 X 具有概率密度 f (x) , 求 Y=X2 的概率密度. X = P(− y  X  y) 当 y>0 时, F ( y) P(Y y) Y =  ( ) 2 = P X  y 注意到 Y=X2  0 ，故当 y  0 时， F ( y) = 0. Y F (x) X F ( y) 解 设Y 和 X 的分布函数分别为 Y 和 ， F ( y ) F ( y ) = X − X − ( ) ( ) F y P Y y Y = 