哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第七章 参数估计（7.4）正态总体均值与方差的区间估计

数理统计 第四节 正态总体均值与方差的区间估计 单个总体N(p,2)的情况 两个总体N(x1,2),N(m2,2)的情况 课堂练习 小结布置作业

数理统计 第四节 正态总体均值与方差的区间估计 单个总体 的情况 两个总体 的情况 课堂练习 小结 布置作业 2 N( , ) μ σ 2 1 1 N( , ), μ σ 2 2 2 N( , ) μ σ

数理统计 、单个总体N(H,σ2)的情况 X~N(A,2),并设X1,X为来自总体的 样本,X,S2分别为样本均值和样本方差 1.均值μ的置信区间 1a2为已知 X--N(0,1) n 可得到的置信水平为1-a的置信区间为 (”4n2)或、。)含 n

数理统计 一、单个总体 N( , ) μ σ 2 的情况 2 X N( , ), μ σ 并设 X X 1 , , n 为来自总体的 样本 , 2 X S, 分别为样本均值和样本方差 . 1. 均值 μ 的置信区间 1 2 σ 为已知 (0,1) X μ N σ n − 可得到  的置信水平为 1− α 的置信区间为 2 2 ( , ) α α σ σ X u X u n n − + 2 ( ) α σ X u n 或 

数理统计 为未知 x--(n-1) n 此分布不依赖于 X-u 任何未知参数 由P K<tn2(n-1)}=1- S/√n 可得到的置信水平为1-a的置信区间为 (X--r=ta2(m-1,X+tm2(n-1) n n 或 S (X±-ta2(n-1) n

数理统计 2 2 σ 为未知 ( 1) X μ t n S n − − 可得到  的置信水平为 1− α 的置信区间为 此分布不依赖于 任何未知参数 2 {| | ( 1)} 1 α X μ P t n α S n − 由  − = − 2 2 ( ( 1), ( 1)) α α S S X t n X t n n n − − + − 2 ( ( 1)) α S X t n n 或  −

数理统计 例1有一大批糖果现从中随机地取16袋,称 得重量(以克计)如下: 506508499503504510497512 514505493496506502509496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布试求总体 均值μ的置信水平0.95为的置信区间 解这里1-a=0.95,0/2=0.025,n-1=15, t0n25(15)=21315. 162=503,75 (x;-x)2=62022. 15 ∑ i=1

数理统计 例1 有一大批糖果.现从中随机地取 16 袋 , 称 得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体 均值 μ 的置信水平0.95为的置信区间. 解 这里 1 0.95, 2 0.025, 1 15, − = = − = α α n 0.025 t (15) 2.1315. = 16 1 1 503.75 , 16 i i x x = = =  16 2 1 1 ( ) 6.2022 . 15 i i s x x = = − = 

数理统计 于是得到的置信水平为095的置信区间为 (tta(n-D) n 即 (500.4,507.1)

数理统计 2 ( ( 1)) α s x t n n  − 于是得到  的置信水平为 0.95 的置信区间为 即 (500.4,507.1)

数理统计 2.方差2的置信区间 (n-1 2 x2(n-1) 由 P{x1-a2(-1)< (n-1)S2 2<xa2(n-1)=1-a 可得到G2的置信水平为1-a的置信区间为 (n-1)S2(m-1)S2 x2(n-1)'x2a2(n-1)

数理统计 2. 方差 σ 2 的置信区间 2 2 2 ( 1) ( 1) n S χ n σ − − 2 2 2 1 2 2 2 ( 1) { ( 1) ( 1)} 1 α α n S P χ n χ n α σ − − −   − = − 由 可得到 的置信水平为 1− α 的置信区间为 2 2 2 2 2 1 2 ( 1) ( 1) ( , ) ( 1) ( 1) α α n S n S χ n χ − n − − − − 2 σ

数理统计 由 P (n-1)<(n-1)S <yxa2(n-1)}=1-a 可得到标准差σ的置信水平为1-a的置信区间为 n-IS n-IS a/2

数理统计 2 2 1 2 2 ( 1) { ( 1) ( 1)} 1 α α n S P χ n χ n α σ − − −   − = − 由 可得到标准差 σ 的置信水平为 1− α 的置信区间为 2 2 2 1 2 1 1 ( , ) ( 1) ( 1) α α n S n S χ n χ − n − − − −

数理统计 例2有一大批糖果现从中随机地取16袋,称 得重量(以克计)如下: 506508499503504510497512 514505493496506502509496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体 标准差G的置信水平095为的置信区间 解这里a/2=0.025,1-a/2=0.975,n-1=15, x2n3(15)=27488,x95(15)=6.262 15 ∑(x2-x)2=6.2022

数理统计 例2 有一大批糖果.现从中随机地取 16 袋 , 称 得重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布,试求总体 标准差 σ 的置信水平0.95为的置信区间. 解 这里 α 2 0.025,1 2 0.975, 1 15, = − = − = α n 2 0.025 χ (15) 27.488, = 2 0.975 χ (15) 6.262. = 16 2 1 1 ( ) 6.2022 . 15 i i s x x = = − = 

数理统计 于是得到G的置信水平为095的置信区间为 n-IS n-IS xau2(n-l n (4.58,960)

数理统计 于是得到 的置信水平为 0.95 的置信区间为 2 2 2 1 2 1 1 ( , ) ( 1) ( 1) α α n S n S χ n χ − n − − − − σ 即 (4.58,9.60)

数理统计 二、两个总体N(1,02),N(22)的情况 设已给定置信水平为1-a,并设X1,X2…,X 是来自第一个总体的样本,V1,2…,V是来自第二 个总体的样本,这两个样本相互独立且设X,F分别 为第一、二个总体的样本均值,s2,S2为第 个总体的样本方差 1.两个总体均值差1-H2的置信区间 IG2,a2为已知

数理统计 二、两个总体 N( , ), μ1 1 σ 2 N( , ) μ2 2 σ 2 的情况 设已给定置信水平为 1− α , 并设 1 1 2 , , X X X n 是来自第一个总体的样本 , 2 1 2 , , Y Y Y n 是来自第二 个总体的样本 ,这两个样本相互独立.且设 X Y, 分别 为第一、二个总体的样本均值 , 2 2 1 2 S S, 为第一、二 个总体的样本方差 . 1. 两个总体均值差 μ1 2 − μ 的置信区间 1 2 2 1 2 σ ,σ 为已知