《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九章 重积分（9.3）三重积分

第三节 第九章 三重积分 三重积分的概念 三重积分的计算 Q团p

第三节 一、三重积分的概念 二、三重积分的计算 三重积分 第九章

、三重积分的概念 引例:设在空间有限闭区域内分布着某种不 均匀的物质,密度函数为(x,y,)∈C求分布在Q 内的物质的质量M 解决方法:类似二重积分解决问题的思想采用 “大化小,常代变近似和求极限” 可得 M=lim∑1(5.;,1k2k)△vk △v k →>0 k2k,5k Q团p

一、三重积分的概念 类似二重积分解决问题的思想,采用 k k k k ( , , )v  ( , , )  k k  k k v 引例: 设在空间有限闭区域内分布着某种不 均匀的物质, (x, y,z)C, 求分布在 可得  = n k 1 0 lim → M = “大化小,常代变,近似和,求极限” 解决方法: 内的物质的质量M. 密度函数为

定义.设f(x,y,=),(x,y,)∈g,若对Ω作任意分割: Ak(k=1,2,…,m)任意取点(5k,mk,k)∈Ak2下列 “乘积和式”极 imn∑(5,m,5k)△k记作』1(xy λ→>0k=1 存在,则称此极限为函数f(x,y,在9上的三重积分 dν称为体积元素在直角坐标系下常写作 dxdyda 性质:三重积分的性质与二重积分相似例如 中值定理.设∫(x,y,z)在有界闭域Ω上连续, V为Ω的体积,则存在(,n,)∈g,使得 !(xy)dy=/(55) Q团p

定义. 设 f (x, y,z) , (x, y,z), k k k n k k  f v → = lim ( , , ) 1 0     存在, f (x, y,z)  f (x, y,z)dv dv 称为体积元素, dxdydz. 若对作任意分割: 任意取点 则称此极限为函数 在上的三重积分. 在直角坐标系下常写作 性质: 三重积分的性质与二重积分相似. 例如 下列 中值定理. 在有界闭域上连续, 则存在 (,, ), 使得  f (x, y,z)d v = f (,, )V V为的体积, “乘积和式”极 限 记作

二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 先假设连续函数f(x,y,z)≥0,并将它看作某物体 的密度函数,通过计算该物体的质量引出下列各 计算方法: 方法1.投影法(“先一后 方法2.截面法(“先二后-”) 方法3.三次积分法 最后,推广到一般可积函数的积分计算 Q团p

二、三重积分的计算 1.利用直角坐标计算三重积分 方法1. 投影法 (“先一后 二方法”)2. 截面法 (“先二后一”) 方法3. 三次积分法 先假设连续函数 f (x, y,z)  0, 并将它看作某物体 通过计算该物体的质量引出下列各 最后, 推广到一般可积函数的积分计算. 的密度函数, 计算方法:

方法1.投影法(“先一后 X c:/41(x,y)≤z≤ (x,y)∈D 细长柱体微元的质量为 (x,y) f(x,y, 2)dz dxdy 2+=(x; y 1(x,y) 该物体的质量为 f(,v, z)dv xak 2(x,y) D 1(x,y) 记 f(, y, z)dxdy dxd 2(x,y y f(x,y,=)d2 二1(x Q团p

z x y D  = D dxdy 方法1. 投影法 (“先一后 二”)        x y D z x y z z x y ( , ) ( , ) ( , ) : 1 2 f x y z z x y z x y z x y ( , , )d d d ( , ) ( , ) 2 1        该物体的质量为  f (x, y,z)d v        ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z D  z x y z x y x y f x y z z ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d f (x, y,z)dxdy 细长柱体微元的质量为 ( , ) 2 z = z x y ( , ) 1 z = z x y d xd y 微元线密度≈ 记作

方法2.截面法(“先二后一”) ∈ a<zsb 以D为底,d为高的柱形薄片质量为 f(x,y, z)dxdy)dz 该物体的质量为 面密度≈ f(x,y, z)d f(x,y, 2)dz b D f(x,y, z)dxd y)d 记作rb d f(, y, z)dxdy D Q团p

a b 方法2. 截面法 (“先二后一”) 以Dz 为底, dz为高的柱形薄片质量为 x y z 该物体的质量为 (  = b a DZ f (x, y,z)d xd y  DZ b a dz f (x, y,z)dxdy z Dz f (x, y,z)d z 面密度≈ )dz 记作 

方法3.三次积分法 (x,y)≤z≤2(x,y) 设区域Ω (x,y)∈D./n1(x)sy≤y2(x) qsx≤ b 利用投影法结果,把二重积分化成二次积分即得 「[Af(x,y,)dv D2(x y) dx f(, y, z)dz y1(x) 1(x,y) 投影法 二)(x f(r,y, z)dv=ll dxdy f(, y, z)dz Q团p

投影法 方法3. 三次积分法 设区域  : 利用投影法结果,         a x b y x y y x x y D ( ) ( ) ( , ) : 1 2 ( , ) ( , ) 1 2 z x y  z  z x y 把二重积分化成二次积分即得:   = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z  ( , ) ( , ) 2 1 ( , , )d z x y z x y f x y z z  ( ) ( ) 2 1 d y x y x y  = b a dx

当被积函数在积分域上变号时,因为 f(,y, z) f(x,y, 2)+f(x,y,)f(x,y, z)-f(x,y, z) =f1(x,y,z)-/2(x,y,z) 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算. Q团p

当被积函数在积分域上变号时,因为 f (x, y,z) 2 f (x, y,z) − f (x, y,z) − ( , , ) 1 = f x y z ( , , ) 2 − f x y z 均为非负函数 根据重积分性质仍可用前面介绍的方法计算. 2 f (x, y,z) + f (x, y,z) =

小结:三重积分的计算方法 方法1.“先一后二” f(x,y,z)dv (as)a=yapp a f(r,y, z)dz (x,y) 方法2.“先二后一” f(x,y, z)dv=d f∫( x。V,2)dxdv JJD 方法3.“三次积分” ∫(cdv= dx d y f(, y, z)d y1(x) =1(x,y) 三种方法(包含1种形式各有特点,具体计算 时应根据被积函数及积分域的特点灵活选择 Q团p

小结: 三重积分的计算方法 方法1. “先一后二” 方法2. “先二后一” 方法3. “三次积分”   = ( , ) ( , ) 2 1 d d ( , , )d z x y D z x y x y f x y z z   = DZ b a d z f (x, y,z)dxdy    = ( , ) ( , ) ( ) ( ) 2 1 2 1 d d ( , , )d z x y z x y y x y x b a x y f x y z z 三种方法(包含12种形式)各有特点, 具体计算 时应根据被积函数及积分域的特点灵活选择

例1计算三重积分2xdyd其中为三个坐标 面及平面x+2y+2=1所围成的闭区域 0<z<1-x-2 解:g:{0≤y≤(1-x) 0<x<1 xdxd ydz y rdx my az 0 s)△y X ∽dx/7(1-x-2y)dy (x-2x2+x3)dx= 48 Q团p

例1.计算三重积分  xdxdydz, 其中为三个坐标 x + 2y + z =1 所围成的闭区域. 1 x y z 1 2 1 解:  :   xd xd y d z   − = − − (1 ) 0 1 0 2 1 d (1 2 )d x x x x y y  −x− y z 1 2 0 d  = − + 1 0 2 3 ( 2 )d 4 1 x x x x 0  z 1− x − 2y 0 (1 ) 2 1  y  − x 0  x 1 48 1 = 面及平面