《高等数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第九章 重积分（9.1）二重积分的概念与性质

第九章 重积分 元函数积分学 重积分 多元函数积分学{曲线积分 曲面积分

第九章 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 重 积 分

第一节 第九章 二重积分的概念与性质 、引例 二重积分的定义与可积性 、二重积分的性质 四、曲顶柱体体积的计算 Q团p

三、二重积分的性质 第一节 一、引例 二、二重积分的定义与可积性 四、曲顶柱体体积的计算 二重积分的概念与性质 第九章

、引例 二=f(x,y 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底:xoy面上的闭区域D D 顶:连续曲面z=(x,y)≥0 侧面:以D的边界为准线母线平行于z轴的柱面 求其体积 解法类似定积分解决问题的思想 “大化小,常代变,近似和,求极限 Q团

解法:类似定积分解决问题的思想: 一、引例 1.曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: z  f (x, y)  0 底：xoy 面上的闭区域D 顶: 连续曲面 侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面 求其体积. “大化小,常代变,近似和,求极限 ” D z  f (x, y)

1)“大化小” 用任意曲线网分D为n个区域 二=f(x,y) △O1,△ 2 △ 以它们为底把曲顶柱体分为nf(,m 个小曲顶柱体 D 2)“常代变” (22 在每个ak中任取一点(,n),则 △k≈f(5k,7kAOk(k=1,2,…,n) 3)“近似和” V=∑△Wk≈∑f(5k,7k)Ok k=1 k=1 Q团p

D z  f (x, y) 1)“大化小” 用任意曲线网分D为n个区域    n , , , 1 2  以它们为底把曲顶柱体分为n 个 2)“常代变” 在每个 k ( , ),  k k 3)“近似和”     n k V Vk 1     n k k k k f 1 ( , )  ( , ) k k f   V f ( , ) (k 1,2, ,n)  k   k k  k   中任取一点 则 小曲顶柱体  k ( , )  k k

4)“取极限” 定义A的直径为 (△ak)=max{P2P,P2∈△ok 令4=max{(△ak)} 1<k<n f(, y) r=lm∑/(06) →)0 (SK Q团p

4)“取极限” 定义 k 的直径为 ( k )  max P1P2 P1 ,P2  k 令 max ( )  1 k k n            n k k k k V f 1 0 lim ( , )   z  f (x, y) ( , ) k k f    k ( , )  k k

2.平面薄片的质量 有一个平面薄片在xoy平面上占有区域D,其面密 度为/(x,y)∈C,计算该薄片的质量M 若(x,y)=l(常数,设D的面积为a,则 M=u 若(x,y)非常数,仍可用 “大化小,常代变,近似和,求极限” 解决 1)“大化小” 用任意曲线网分D为n个小区域△a1,△a2,…,Aan 相应把薄片也分为小区域 Q团p

2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D, 度为 (x, y)C,计算该薄片的质量M. 若(x, y)  (常数), 设D的面积为, 则 M    若 (x, y)非常数, 仍可用 其面密 “大化小,常代变,近似和,求极限” 解决. 1)“大化小” 用任意曲线网分D为n个小区域 , , , ,  1  2   n 相应把薄片也分为小区域. D y x

2)“常代变” 在每个△ak中任取一点(5k,k)则第k小块的质量 △Mk≈(k,7k)AOk(=1,2,…,nm) 3)“近似和” ∑△Mk≈∑ 4(5k,k)A k k=1 k=1 4)“取极限” 令几=max{2(△Ok )} (2k,k)△ok 10 Q团p

2)“常代变” 在每个 k中任取一点 ( , ),  k  k 3)“近似和”     n k M Mk 1     n k k k k 1  ( , )  4)“取极限” max ( ) 1 k k n       令      n k M k k k 1 0 lim  ( , )    k ( , )  k k M ( , ) (k 1,2, ,n)  k    k k  k   则第 k 小块的质量 y x

两个问题的共性: (1)解决问题的步骤相同 “大化小,常代变,近似和,取极限” (2)所求量的结构式相同 曲顶柱体体积 =1m∑f(5k;,mk)△k →>0k=1 平面薄片的质量: M=lim∑/(k,7k)△ak 1→>0 Q团

两个问题的共性： (1) 解决问题的步骤相同 (2) 所求量的结构式相同 “大化小, 常代变, 近似和,取极限”      n k k k k V f 1 0 lim ( , )        n k M k k k 1 0 lim  ( , )   曲顶柱体体积: 平面薄片的质量:

二、二重积分的定义及可积性 定义:设f(x,y)是定义在有界区域D上的有界函数 将区域D任意分成n个小区域∧Ok(k=1,2,…,n) 任取一点k,mk)∈Aok,若存在一个常数L,使 =1m>(5k,nAo记作(x,yd 则称(x)积称1为f(xy)在D上的二重积分 积分和 积分表达式 f(x,y)do x,y称为积分变量 积分域被积函数面积元素 Q团p

二、二重积分的定义及可积性 定义:设f (x, y) 将区域D任意分成n个小区域 (k 1, 2 , , n),  k   任取一点( , ) ,  k k  k 若存在一个常数I, 使      n k k k k I f 1 0 lim ( , )   则称f(x, y) 可积, D f (x, y)d 称I 为 f (x, y)在D上的二重积分. x, y称为积分变量 积分和 D f (x, y)d 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域D上的有界函数

如果f(x,y)在D上可积,可用平行坐标轴的直线来 分区域D,这时Ak= Axk ay,因此面积元素da 也常记作ddy,二重积分记作 f(, y)dxd D 引例1中曲顶柱体体积: V=f(x, y)do=,f(,y)dxd 引例2中平面薄板的质量: M u(x,yao u(x,ydxd y D D Q团p

  D V f (x, y)d 引例1中曲顶柱体体积:   D M  (x, y)d 引例2中平面薄板的质量: 如果 )在D上可积, f (x, y d dxdy, 二重积分记作 ( , )d d . D f x y x y , k k k 分区域D, 这时  x y 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 也常记作   D f (x, y)d x d y   D  (x, y)d x d y