哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第一章 概率论的基本概念（1.5）条件概率（续）

←概率论 第五节条件概率 条件概率 乘法公式 小结布置作业

概率论 第五节 条件概率 条件概率 乘法公式 小结 布置作业

←概率论 条件概率 1.条件概率的概念 在解决许多概率问题时,往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率, 将此概率记作P(4B) 般地P(4|B)≠P(4)

概率论 在解决许多概率问题时，往往需要在有某 些附加信息(条件)下求事件的概率. 一、条件概率 1. 条件概率的概念 如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率， 将此概率记作P(A|B). 一般地 P(A|B) ≠ P(A)

←概率论 例如,掷一颗均匀骰子,A={掷出2点}, B={掷出偶数点},P(4)=1/6,P(|B=? 已知事件B发生,此时试验所有可能 结果构成的集合就是B, 掷骰子 B中共有3个元素,它们的出现是等 可能的,其中只有1个在集A中于是 P(AB)=13 容易看到 P(|B) 116P(AB) 336P(B)

概率论 P(A )=1/6， 例如，掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， P(A|B)=？ 掷骰子 已知事件B发生，此时试验所有可能 结果构成的集合就是B， P(A|B)= 1/3. B中共有3个元素,它们的出现是等 可能的,其中只有1个在集A中. 容易看到 ( ) ( ) 3 6 1 6 3 1 P B P AB P(A|B) = = = 于是

←概率论 又如,10件产品中有7件正品,3件次品,7件正 品中有3件一等品,4件二等品.现从这10件中任取 件,记 A={取到一等品},B={取到正品} 则 P(A)=3/10, 33/10P(AB) P(41B=7710P(B)

概率论 P(A )=3/10， 又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正 品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取 一件，记 A={取到一等品}，B={取到正品} P(A|B) ( ) ( ) 7 10 3 10 7 3 P B P AB = = = 则

←概率论 A={取到一等品},B={取到正品} P(4)=3/10,P(AB)=3 本例中,计算P(4)时,依据的 前提条件是10件产品中一等品的比 例 计算P(4B时,这个前提条件未变,只是加 上“事件B已发生”这个新的条件 这好象给了我们一个“情报”,使我们得以在 某个缩小了的范围内来考虑问题

概率论 P(A )=3/10， B={取到正品} P(A|B)=3/7 本例中，计算P(A)时，依据的 前提条件是10件产品中一等品的比 例. A={取到一等品}， 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加 上“事件B已发生”这个新的条件. 这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在 某个缩小了的范围内来考虑问题

←概率论 2.条件概率的定义 设A、B是两个事件,且P(B)>0,则称 P(AB) P(AB) P(B) 为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率 若事件B已发生,则为使 A也发生,试验结果必须是既 BABA)在B中又在A中的样本点,即 此点必属于AB.由于我们已经 知道B已发生,故B变成了新的 样本空间,于是有(1)

概率论 若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既 在 B 中又在A中的样本点 , 即 此点必属于AB. 由于我们已经 知道B已发生, 故B变成了新的 样本空间 , 于是 有(1). 设A、B是两个事件，且P(B)>0,则称 (1) ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = S B ABA 2. 条件概率的定义 为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率

←概率论 3.条件概率的性质(自行验证) 条件概率P(|A)具备概率定义的三个条件 (1)非负性对于任意的事件B,P(B|A)≥0; (2)规范性:P(S|A)=1; (3)可列可加性:设B1,B2是两两互斥事件,则有 P|BA=∑P(BA 所以在第二节中证明的性质对条件概率都成立

概率论 3. 条件概率的性质(自行验证) 条件概率P(• | A)具备概率定义的三个条件: (1) 非负性:对于任意的事件 B ,P(B | A)  0; (2) 规范性: P(S | A) = 1; (3) : , , , 可列可加性 设 B1 B2 是两两互斥事件 则有  ( )  =  =  =       1 1 i i i i P B A P B A 所以在第二节中证明的性质对条件概率都成立

←概率论 4.条件概率的计算 1)用定义计算: P(A B)= P(AB) P(B) P(B)>0 掷骰子 2)从加入条件后改变了的情况去算 例:A={掷出2点}B={掷出偶数点} P(4|B)= 在缩减样本空 B发生后的缩减 间中4所含样 样本空间所含样 本点个数 本点总数

概率论 2)从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算 1) 用定义计算: , ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = P(B)>0 掷骰子 例：A={掷出2 点}，B={掷出偶数点} P(A|B）= 3 1 B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数 在缩减样本空 间中A所含样 本点个数

←概率论 例1掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 应用定义 解法1P(A|B) P(AB)3/36 P(B)6/362 31 解法2P(A|B) 在B发生后的缩减样本 空间中计算

概率论 例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问 “掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法1 ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = 解法2 2 1 6 3 P(A| B) = = 解 设A={掷出点数之和不小于10} B={第一颗掷出6点} 应用 定义 在B发生后的缩减样本 空间中计算 2 1 6 36 3 36 = =

←概率论 二、乘法公式 由条件概率的定义:P(A|B)= P(AB) P(B) 若已知P(B),P(4B)时,可以反求P(AB) 即若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(4B)(2 D→IA (2)和(3)式都称为乘法公式,利用 它们可计算两个事件同时发生的概率 而(D)F(D4 故P(4)>0,则P(AB=P(4)P(B4)(3)

概率论 由条件概率的定义： 即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) ( ) ( ) ( | ) P B P AB P A B = 而 P(AB)=P(BA) 二、 乘法公式 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 将A、B的位置对调，有 故 P(A)>0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3) 若 P(A)>0,则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率