哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第七章 参数估计（7.3）区间估计

数理统计 第三节区间估计 置信区间定义 置信区间的求法 单侧置信区间 课堂练习 小结布置作业

数理统计 第三节 区间估计 置信区间定义 置信区间的求法 单侧置信区间 课堂练习 小结 布置作业

数理统计 引言 前面,我们讨论了参数点估计.它是用样本算 得的一个值去估计未知参数.但是,点估计值仅仅 是未知参数的一个近似值,它没有反映出这个近似 值的误差范围,使用起来把握不大.区间估计正好 弥补了点估计的这个缺陷

数理统计 引言 前面，我们讨论了参数点估计. 它是用样本算 得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计值仅仅 是未知参数的一个近似值，它没有反映出这个近似 值的误差范围，使用起来把握不大. 区间估计正好 弥补了点估计的这个缺陷

数理统计 譬如,在估计湖中鱼数的问题中,若我们 根据一个实际样本,得到鱼数N的极大似然估 计为1000条 实际上,N的真值可能大于1000条,也可 能小于1000条 若我们能给出一个区间,在此区间内我们 合理地相信N的真值位于其中这样对鱼数的 估计就有把握多了

数理统计 譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若我们 根据一个实际样本，得到鱼数 N 的极大似然估 计为1000条. 若我们能给出一个区间，在此区间内我们 合理地相信 N 的真值位于其中. 这样对鱼数的 估计就有把握多了. 实际上，N的真值可能大于1000条，也可 能小于1000条

数理统计 也就是说,我们希望确定一个区间,使我们能 以比较高的可靠程度相信它包含真参数值 湖中鱼数的真值 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的, 称为置信度或置信水平 习惯上把置信水平记作1-c,这里C是一个 很小的正数

数理统计 也就是说，我们希望确定一个区间，使我们能 以比较高的可靠程度相信它包含真参数值. • 湖中鱼数的真值 [ ] 这里所说的“可靠程度”是用概率来度量的 ， 称为置信度或置信水平. 习惯上把置信水平记作 1− ，这里  是一个 很小的正数

数理统计 置信水平的大小是根据实际需要选定的 例如,通常可取置信水平1-=0.95或0.9等 根据一个实际样本,由给定的置信水平,我 们求出一个尽可能小的区间(a,0),使 P<0<0}=1-a 称区间(0,0)为的置信水平为1-a的 置信区间

数理统计 置信水平的大小是根据实际需要选定的. 置信区间. 称区间 ( , ) θ θ 为  的置信水平为 1− 的 例如，通常可取置信水平 1− =0.95或0.9等. 根据一个实际样本，由给定的置信水平，我 们求出一个尽可能小的区间 ( , ) θ θ ，使 P{ } 1 θ   = − θ θ α

数理统计 置信区间定义 设是一个待估参数,给定a>0.若由样本 X1,X2,Yn确定的两个统计量 0=0(X1,X2;…,Xn) (<6) 0=0(X1,X2,…,Xn) 满足 P{<0<0}=1-a 称区间(,0)是b的置信水平(置信度)为1- 的置信区间. O和0分别称为置信下限和置信上限

数理统计 一、 置信区间定义  满足 设 是 一个待估参数，给定   0, X1 ,X2 ,…Xn确定的两个统计量 则称区间 是 的置信水平（置信度 )为 的置信区间.  1− 和 分别称为置信下限和置信上限. 若由样本 P{ } 1 θ   = − θ θ α 1 2 ( , , , ) n θ = θ X X X 1 2 ( , , , ) n θ = θ X X X ( ) θ  θ θ θ ( , ) θ θ

数理统计 可见, 对参数作区间估计,就是要设法找出两个 只依赖于样本的界限(构造统计量 0=0(X1,X (<0) 0=0(X1,X2,…,Xn) 且有了样本,就把日估计在区间(0,0)内 这里有两个要求:

数理统计 这里有两个要求: 可见， 对参数 作区间估计，就是要设法找出两个 只依赖于样本的界限(构造统计量).  一旦有了样本，就把  估计在区间 内 . 1 2 ( , , , ) n θ = θ X X X 1 2 ( , , , ) n θ = θ X X X ( ) θ  θ ( , ) θ θ

数理统计 1.要求以很大的可能被包含在区间(,0) 内,就是说,概率P{<θ<θ}要尽可能大 即要求估计尽量可靠 2.估计的精度要尽可能的高.如要求区间长度 0-0尽可能短,或能体现该要求的其它准则 可靠度与精度是一对矛盾,一般是 在保证可靠度的条件下尽可能提高 精度

数理统计 可靠度与精度是一对矛盾，一般是 在保证可靠度的条件下尽可能提高 精度. 1. 要求  以很大的可能被包含在区间 内，就是说，概率 要尽可能大 . 即要求估计尽量可靠. ( , ) θ θ P{ } θ   θ θ 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间长度 θ − θ 尽可能短，或能体现该要求的其它准则

数理统计 二、置信区问的求法 在求置信区间时,要查表求分位点 定义设0x)=a分P(XSx)=1-a 的点x为X的概率分布的上a分位点 P(<X<b)=1-a P(X<b-P(X<a=1-a P(X<)=1-%2: P(X <0)=g 50

数理统计 在求置信区间时，要查表求分位点. 二、置信区间的求法 P a X b ( ) 1   = − α P X b P X a ( ) ( ) 1  −  = − α  ( ) 1 , 2 P X b α  = − ( ) 2 P X a α  = 设 , 对随机变量X，称满足 的点 为X的概率分布的上 分位点. α x α 0 1   α ( ) P X x  = α α 定义 ( ) 1   = − P X xα α

数理统计 若X为连续型随机变量,则有 a=x 2 b=x a/2 所求置信区间为(x1-a2,xa2) P(a<X<b P(X<b)-P(X<a=1-a P(X<b)=1 3 ,P(X<a)=2 3 a=x1-2a 3, b=xal3 所求置信区间为(x1203,x3)

数理统计 P a X b ( ) 1   = − α P X b P X a ( ) ( ) 1  −  = − α 若 X 为连续型随机变量, 则有 1 2 , α a x = − 2 . α b x =  ( ) 1 , 3 P X b α  = − 2 ( ) 3 P X a α  = 所求置信区间为 1 2 2 ( , ) α α x x − 所求置信区间为 1 2 3 , α a x = − 3 . α b x = 1 2 3 3 ( , ) α α x x −