哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第三章 多维随机变量及其分布（3.5）两个随机变量的函数的分布

←概率论》 第五节两个随机变量的函数 的分布 z=X+Y的分布 M=max(XY及N=min(X,的分布 课堂练习 小结布置作业

概率论 第五节 两个随机变量的函数 的分布 的分布 M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 课堂练习 小结 布置作业 Z  X Y

←概率论 在第二章中,我们讨论了一维 随机变量函数的分布,现在我们进 步讨论: 当随机变量X,Y的联合分布已知时,如何 求出它们的函数 z=g(X,Y) 的分布?

概率论 在第二章中，我们讨论了一维 随机变量函数的分布，现在我们进一 步讨论: 当随机变量 X, Y 的联合分布已知时，如何 求出它们的函数 Z = g ( X, Y ) 的分布?

概率论》 z=X+y的分布 例1若X、Y独立,P(X=k)=ak,k=0,1,2 9···9 P(F=k)=bk,k=0,1,2,,求Z=X+Y的概率函数 解P(Z=r)=P(X+Y=r) ∑P(X=iY=r-i) i=0 ∑P(X=iP(=r-i i=0 由独立性=a0b+ab-1+…+abor=0,1,2

概率论 例1 若 X、Y 独立，P(X=k)=ak , k=0 , 1 , 2 ,…, P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… ,求 Z=X+Y 的概率函数. 解 P(Z  r)  P(X Y  r)      r i P X i P Y r i 0 ( ) ( ) =a0br+a1br-1+…+arb0      r i P X i Y r i 0 ( , ) 由独立性 r=0,1,2, … 一、Z  X  Y 的分布

←概率论》 例2若X和Y相互独立,它们分别服从参数为21 的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为1+2的泊松分布 解依题意 P(X=i) i=0,1,2 ● P(r=j 2 j=0,1,2 于是 P(Z=r)=∑P(X=Y=r-1)

概率论 解 依题意       r i P Z r P X i Y r i 0 ( ) ( , ) 例2 若 X 和 Y 相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为 于是 i = 0 , 1 , 2 , … j = 0 , 1 , 2 , … ! ( ) i e P X i i 1 1    ! ( ) j e P Y j j 2 2    1 2 λ , λ 1 2 λ  λ 的泊松分布

←概率论》 P(Z=r)=∑P(X=iY=r-i) i=0 e(1+a2) r!台6i!(r-i) (A1+2) (+2),r=0,1 即Z服从参数为41+2的泊松分布

概率论       r i P Z r P X i Y r i 0 ( ) ( , )    r i 0 r-i - 2 i - 1 (r -i)! e i! e 1 2         r r i e 0 r-i 2 i 1 ( ) i!(r -i)! r! ! 1 2     ( ) , ! 1 2 ( ) 1 2 r r e         r = 0 , 1 , … 即Z服从参数为 的泊松分布. 1 2 λ  λ

←概率论》 例3设X和Y的联合密度为f(xy),求Z=X+Y 的概率密度 解z=X+Y的分布函数是 J F(z)=P(Z≤z) P(X+Y≤z l f(x, y)dxdy rty=z 这里积分区域D={(x,y):xysz 它是直线x+y=及其左下方的半平面

概率论 例3 设X和Y的联合密度为 f (x,y) , 求 Z=X+Y 的概率密度.   D f (x, y)dxdy 这里积分区域 D={(x, y): x+y ≤z} 解 Z=X+Y的分布函数是:     FZ z  P Z  z  P X  Y  z 它是直线 x+y =z 及其左下方的半平面. x  y  z x y 0

←概率论》 J F2(a)=f(x,y)dxdy +y≤z 化成累次积分得 F2(x) f(x, y)dx dy rty=z 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=uy 得 F2(z)=」f(a- y,y)dudy ∫∫f(m-y)dm 变量代换 交换积分次序

概率论 化成累次积分,得     x y z Z F (z) f (x, y)dxdy        z y FZ (z) [ f (x, y)dx]dy 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换, 令 x=u-y, 得        z FZ (z) [ f (u y, y)du]dy      z [ f (u y, y)dy]du 变量代换 交换积分次序 x  y  z x y 0 y

←概率论》 F2(2)=5[f(u-V,y)dyldu 由概率密度与分布函数的关系,即得Z=X的概率 密度为: fi(z)=F2(2)= f(z-y,y)dy 由X和Y的对称性,z(z)又可写成 fi(z)=F(2)=f(x,z-x)dx 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式

概率论 由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率 密度为: 由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成   f z  F z  f z  y y dy Z Z ( ) ( ) ( , ) ' 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.   fZ (z)  FZ (z)  f (x,z  x)dx '      z FZ (z) [ f (u y, y)dy]du

←概率论 特别地,当X和Y独立,设(X,关于X,Y的边 缘密度分别为(x),f1),则上述两式化为 2(2)=f4(=-y)(y) fi()=/(x)fr(2-x)dx 卷积公式 下面我们用卷积公式来求z=X+Y的概率密度

概率论 特别地，当 X 和 Y 独立，设 (X,Y) 关于 X , Y 的边 缘密度分别为 fX(x) , fY (y) , 则上述两式化为:   f z  f z  y f y dy Z X Y ( ) ( ) ( )   f z  f x f z  x dx Z X Y ( ) ( ) ( ) 下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的概率密度.    卷积公式

←概率论》 例4若X和Y独立,具有共同的概率密度 0<x<1 f(x)= 0.其它 求Z=X+Y的概率密度 解由卷积公式 fi(z)=x(x)fr(3-x)dx 为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 0<x<1 0<x<1 也即 0≤z-x≤1 z-1≤x≤z

概率论 为确定积分限,先找出使被积函数不为 0 的区域 例4 若 X 和Y 独立, 具有共同的概率密度 求 Z=X+Y 的概率密度 .       0, 其它 1, 0 1 ( ) x f x   fZ (z)  fX (x) fY (z  x)dx 解 由卷积公式         0 1 0 1 z x x 也即         z x z x 1 0 1