哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第八章 假设检验（8.2）正态总体均值的假设检验

数理统计 第二节正态总体均值的假设 检验 单个正态总体均值的检验 两个正态总体均值差的检验 小结布置作业

数理统计 单个正态总体 均值的检验 两个正态总体均值差的检验 小结 布置作业 第二节 正态总体均值的假设 检验

数理统计 、单个总体N(,0)均值的检验 1.O已知,关于儿的检验(u检验) 在上一小节中已讨论过正态总体N(202),当o 已知时关于=4的检验问题在这些检验问题 中,我们都是利用H0在为真时服从N(0.)分布 的统计量x4来确定拒绝域。这种检验法常称 为u检验

数理统计 1. 已知，关于 的检验（u检验） 在上一小节中已讨论过正态总体 , 当 已知时关于 的检验问题.在这些检验问题 中，我们都是利用 在为真时服从 分布 的统计量 来确定拒绝域。这种检验法常称 为 u 检验法。 0 x n   − H0 N(0,1) 2 N( , )   2    = 0 2   2 一、单个总体 N( , )   均值  的检验

数理统计 下面还将给出一个有用的结果 我们看到,如将例2中需要检验的问题写成以下的 形式,看来更为合理: H0:≤1,H1:>b 取显著性水平为C,现在来求这个问题的拒绝域 因为H中的/全部都比P(中的要小,从直观上看, 较合理的检验法应是:若观测值x与的差x-0 过分大,即x-41>k,则我们拒绝H而接受H1, 因此拒绝域的形式为x-40≥k(k待定)

数理统计 下面还将给出一个有用的结果: 0 0 1 0 H H : , :       我们看到，如将例2中需要检验的问题写成以下的 形式，看来更为合理： 取显著性水平为  ，现在来求这个问题的拒绝域. 0 x k −   0 x −  H0 H1 x 0  H0 H1 0 x k −   因为 中的 全部都比 中的要小,从直观上看, 较合理的检验法应是：若观测值 与 的差 过分大，即 , 则我们拒绝 而接受 ， 因此拒绝域的形式为 （k 待定）

数理统计 由标准正态分布的分布函数Φ(x)的单调性得到 P(拒绝H0H为真} =Pa(x-1≥k) x-l +k P ≤o n 1-Φ(608)- -(10+k < a( O/√n O/√n ≤Φ(4-(4o+k) k )=Φ( O/√n O/√n

数理统计 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P x k x k P n n k k n n k k n n                             = −  − + − =  + − − + = −  =  − + −   =  由标准正态分布的分布函数 ( ) x 的单调性得到 H H0 0 P{拒绝 为真 }

数理统计 所以要控制P{拒绝H0H为真}≤a,只需 Φ(/r=)=a O/√n 即得k=(/Vm)z,从而得检验间题7)的拒 绝域为 x-Ho 2(o/n)z

数理统计 0 x n z ( ) −     即 0 x z n    −  k n z ( ) 即得 =   ，从而得检验问题(1.7）的拒 绝域为 ( ) k n   −  = 所以要控制 P{拒绝 H H0 0 为真}  ，只需 令

数理统计 这与上节得到的检验问题(1.3)的拒绝域(15)是 致的 比较正态总体N(,a2)在方差O2已知时,对均值 的两种检验问题 H0:/≤/0,1:/> 和 1:/1=16,H1:(>

数理统计 这与上节得到的检验问题（1.3）的拒绝域（1.5）是 一致的。 比较正态总体 在方差 已知时，对均值 的两种检验问题 和 0 0 1 0 H H : , :       0 0 1 0 H H : , :     =   2  2 N( , )  

数理统计 我们看到尽管两者原假设H的形式不同,实际 意义也不一样,但对于相同的显著性水平它们的 拒绝域是相同的。因此遇到形如(1.7)的检验 问题,可归结为(1.3)来讨论。对于下面将要 讨论的有关正态总体的参数的检验也有类似的结 果

数理统计 我们看到尽管两者原假设 的形式不同，实际 意义也不一样，但对于相同的显著性水平它们的 拒绝域是相同的。因此遇到形如（1.7）的检验 问题，可归结为（1.3）来讨论。对于下面将要 讨论的有关正态总体的参数的检验也有类似的结 果。  H0

数理统计 2.2未知,关于的检验(检验) 设总体X-N(4,O2),其中,O2未知,我们来 求检验问题H0:=,H1:4≠ 的拒绝域(显著性水平为C) 设x1,x2,…,x是来自正态总体X的样本, 由于2未知,现在不能利用x来确定拒绝 域了

数理统计 2. 未知，关于 的检验（t检验） 设总体 ，其中 未知，我们来 求检验问题 的拒绝域（显著性水平为 ）。 设 是来自正态总体X 的样本， 由于 未知，现在不能利用 来确定拒绝 域了。 0 x n   − 1 2 , , , n x x x0 0 1 0 H H : , :     =   2 X N( , )   2  , 2   2 

数理统计 注意到s是2的无偏估计,我们用s来代 替σ,采用t=x作为检验统计量。当 S/√n x 过分大时就拒绝H,拒绝域的 s/√n 形式为 μo\zk n 已知当H为真时 t(n-1),故由 S/√n P{拒绝H0H为真}=P1 C

数理统计 0 0 { } x P k s n    −  = H H0 0 0 ( 1) x t n s n −  − H0 0 x t s n −  = H0 0 x t k s n −  =  2 s 2   0 x t s n −  = 注意到 是 的无偏估计，我们用 s 来代 替 ，采用 作为检验统计量。当 过分大时就拒绝 , 拒绝域的 形式为 已知当 为真时， ，故由 P {拒绝 为真}＝

数理统计 得k=ta2(Vn-1),即拒绝域为 x一\zta (n-1) S/√n 对于正态总体N(,o2),当σ未知时,关于 的单边检验得拒绝域在课本附表中已给出

数理统计 得 ， 即拒绝域为 对于正态总体 ，当 未知时，关于 的单边检验得拒绝域在课本附表中已给出。 2   2 k t n( 1) = −  0 2 ( 1) x t t n s n  −  =  − 2 N( , )  