《高等数学》课程教学资源：第四章 一元函数微分学的应用（侯风波）

第四章一元函数微分学的应用 第一节柯西( Cauchy)中值定理与 洛必达(L" Hospita)法则 第二节拉格朗日( Lagrange)中值定理 及函数的单调性 第三节函数的极值与最值 第四节曲率 第五节函数图形的描绘 第六节一元函数微分学在经济上的应用 冈凶

第一节 柯西（Cauchy）中值定理与 洛必达（L’Hospital）法则 第二节 拉格朗日（Lagrange）中值定理 及函数的单调性 *第四节 曲 率 第三节 函数的极值与最值 第五节 函数图形的描绘 第四章 一元函数微分学的应用 第六节 一元函数微分学在经济上的应用

第一节柯西( Cauchy)中值定理与洛必 达( L Hospital)法则 柯西中值定理 二、洛必达法则 冈凶

一、 柯西中值定理 二、 洛必达法则 第一节 柯西（Cauchy）中值定理与洛必 达（L’Hospital）法则

柯西中值定理 定理1(柯西中值定理)如果函数f(x)与F(x)满 足下列条件: (1)闭区间[a,b上连续; (2)在开区间(a,b)内可导 (3)F(x)在(a,b)内的每一点均不为零,那么,在 (a,b)内至少有一点5, 使得fb)-af5 F(b-Fla) Fls 冈凶

定理 1 （柯西中值定理）如果函数 f (x)与 F(x)满 足下列条件： (1) 闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导； (3) F'(x)在(a,b)内的每一点均不为零，那么，在 (a,b)内至少有一点ξ， . f(b) f(a) f ( ) F(b) F(a) F ( )   −  = −  使得 一、 柯西中值定理

二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限 称为型或-型不定式(也称为型或型未定型 的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限 方法 定理2(洛必达法则)若 (1) lim f(x)=0, lim g(x)=0 x->x0 (2)f(x)与g(x)在x0的某邻域内(点x0可除外) 可导,且g'(x)≠0; 冈

二、洛必达法则 把两个无穷小量之比或两个无穷大量之比的极限 称 为 0 0型 或  型不定式(也称为 0 0型 或  型未定型) 的极限,洛必达法则就是以导数为工具求不定式的极限 方法． (1) lim ( ) 0 0 = → f x x x ，lim ( ) 0 0 = → g x x x ； (2) f (x)与g(x)在 0 x 的某邻域内（点 0 x 可除外） 可导，且g'(x)  0； 定 理 2 (洛必达法则) 若

(3)1mf"(x)=A(A为有限数,也可为∞或-∞),则 x->x0 g(x) f(x)=lim/()=A x少x0g(x)xg(x) 证由于我们要讨论的是函数在点x0的极限, 而极限与函数在点x0的值无关,所以我们可补充f(x) 与g(x)在x0的定义,而对问题的讨论不会发生任何影 响.令f(x0)=8(x0)=0,则f(x)与g(x)在点x就连 续了.在x0附近任取一点x,并应用柯西中值定理, 得 f(x) f(x)-f(xo) f(s (5在x与x0之间) g(x)g(x)-8(x0)g(5) 冈凶

(3) A g x f x x x =   → ( ) ( ) lim 0 ( A 为有限数，也可为+  或 −  )，则 证 由于我们要讨论的是函数在点 0 x 的极限， 而极限与函数在点 0 x 的值无关，所以我们可补充f (x) 与g(x)在 0 x 的定义，而对问题的讨论不会发生任何影 响．令 f (x0 ) = g(x0 ) = 0， 则 f (x)与g(x) 在点 0 x 就 连 续了．在 0 x 附近任取一点 x，并应用柯西中值定理， 得 A g x f x g x f x x x x x =   = → → ( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0   g f g x g x f x f x g x f x   = − − = (ξ在 x 与 0 x 之间)

由于x→>x0时,→>x,所以,对上式取极限便得要证 的结果,证毕 注:上述定理对x→>∞时的未定型同样适用,对于 x→x或x→o时的未定型,也有相应的法则 冈凶

由于 0 x → x 时， 0 ξ → x ，所以，对上式取极限便得要证 的结果，证毕． 注：上述定理对x → 时 的 0 0未定型同样适用，对于 0 x → x 或x → 时的未定型  ，也有相应的法则．

3x+2 例1求im +1 3x2-3 解 nx3-3x+2 lim x+1 6x 6 6x-242 例2求lm 1+cos x x→>兀tanx 1+cos x 解lim sIn x lim x→>兀tanx x→)丌 COS X 冈凶

例 1 求 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x ． 解 1 3 2 lim 3 2 3 1 − − + − + → x x x x x x = 3 2 1 3 3 lim 2 2 1 − − − → x x x x = 6 2 6 lim→1 x − x x = 4 6 = 2 3． 例 2 求 x x x tan 1 cos lim π + → ． 解 x x x tan 1 cos lim π + → = x x x 2 π cos 1 sin lim − → = 0．

arctan x 例3求im2 x→)+∞ arctan x 解lin lim 1+x x→)+∞0 x→)+0 X m x>+21+x2 Inx 例4求lim=(n>0) 解in Im lin x→)+00 x->+0n 冈凶

例 3 求 π arctan 2 limx 1 x x →+ − ． 解 π arctan 2 limx 1 x x →+ − = 2 2 1 1 1 lim x x x − + − →+ = 2 2 1 lim x x x→+ + = 1． 例 4 求 ( 0) ln lim  →+ n x x n x . 解 0 1 lim 1 lim ln lim 1 = = = →+ − →+ →+ n x n x n x nx nx x x x ．

除未定型与一之外,还有0·∞,∞-∞,0,1,0等未 定型,这里不一一介绍,有兴趣的同学可参阅相应 的书籍,下面就∞-∞未定型再举一例 例5求im nx 解这是∞-∞未定型,通过“通分”将其化为 未定型 x+Inx-l xInx-(x lin lim-x In x/ x>l (x-1)Inx x-1 Inx+ 冈凶

例 5 求       − → x − x x x ln 1 1 lim 1 ． 解 这 是 − 未定型，通过“通分”将其化为 0 0未定型． x x x x x x x x x x ( 1)ln ln ( 1) lim ln 1 1 lim 1 1 − − −  =      − → − → x x x x x x x 1 ln ln 1 1 lim 1 − + + − = → 除未定型0 0与  之外，还有 0 0 0, − ,0 ,1 ,  等未 定型，这里不一一介绍，有兴趣的同学可参阅相应 的书籍，下面就 − 未定型再举一例．

Inx li =lim nx 在使用洛必达法则时,应注意如下几点: (1)每次使用法则前,必须检验是否属于或 未定型,若不是未定型,就不能使用该法则 (2)如果有可约因子,或有非零极限值的乘积因子, 则可先约去或提出,以简化演算步骤; (3)当1im1不存在(不包括的情况)时,并不 能断定m也不存在,此时应使用其他方法求极限 g/ 冈凶

在使用洛必达法则时，应注意如下几点： (1) 每次使用法则前，必须检验是否属于 0 0或   未定型，若不是未定型，就不能使用该法则； (2) 如果有可约因子，或有非零极限值的乘积因子， 则可先约去或提出，以简化演算步骤； (3) 当 g (x) f (x)   lim 不存在(不包括  的情况)时，并不 能断定 g(x) f(x) lim 也不存在，此时应使用其他方法求极限． x x x x ln 1 1 ln lim 1 − + = → 2 1 1 1 1 lim 2 1 = + = → x x x x