哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 第二节 方差

←概率论 第二节方差 方差的定义 方差的计算 方差的性质 切比雪夫不等式 课堂练习 小结布置作业

概率论 第二节 方差 方差的定义 方差的计算 方差的性质 切比雪夫不等式 课堂练习 小结 布置作业

←概率论 上一节我们介绍了随机变量的数学期望, 它体现了随机变量取值的平均水平,是随机变 量的一个重要的数字特征 但是在一些场合,仅仅知道平均值是不够的

概率论 上一节我们介绍了随机变量的数学期望， 它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变 量的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的

概率论 例如,某零件的真实长度为a,现用甲 乙两台仪器各测量10次,将测量结果X用坐 标上的点表示如图 测量结果的甲仪器测量结果 均值都是a 较好 乙仪器测量结果 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣,你认为哪台仪器好一些呢? 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近

概率论 例如，某零件的真实长度为a，现用甲、 乙两台仪器各测量10次，将测量结果X用坐 标上的点表示如图： 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣，你认为哪台仪器好一些呢？ a •••• • •• ••• 乙仪器测量结果 a • • • • • •• • • • 甲仪器测量结果 较好 测量结果的 均值都是 a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近

←概率论 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹,其落点距目标的位置如图: 由心 中 ●●● 乙炮 甲炮射击结果 乙炮射击结果 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.②③

概率论 又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹，其落点距目标的位置如图： 你认为哪门炮射击效果好一些呢? 甲炮射击结果 乙炮射击结果 乙炮 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • 中心 中心

←概率论 由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十 分必要的那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易 看到 E(X-E(X)B 能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度但由于 上式带有绝对值运算不方便通常用量 E{X-E(X)2} 来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差

概率论 由此可见,研究随机变量与其均值的偏离程度是十 分必要的.那么,用怎样的量去度量这个偏离程度呢?容易 看到 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差 E{ X − E(X)} 能度量随机变量与其均值E(X)的偏离程度. 但由于 上式带有绝对值,运算不方便,通常用量 {[ ( )] } 2 E X − E X 来度量随机变量X与其均值E(X)的偏离程度

←概率论 、方差的定义 设X是一个随机变量,若E(XE(X)存在,称 EI(XE(X为X的方差记为D(X或Var(X),即 D(=Var(X-EIX-E(X) 方差的算术平方根D(X)称为X的标准差或均方差 记为a(X),它与X具有相同的量纲

概率论 一、方差的定义 设X是一个随机变量，若E[(X-E(X)]2存在 , 称 E[(X-E(X)]2 为 X 的方差. 记为D(X)或Var(X)，即 记为 ，它与 具有相同的量纲。 方差的算术平方根 称为 的标准差或均方差 X X D X X ( ) ( )  D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2

←概率论 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的 离散程度 若X的取值比较集中,则方差D(X)较小; 若X的取值比较分散,则方差D(X较大 因此,D(X)是刻画X取值分散程度的一个量,它 是衡量X取值分散程度的一个尺度

概率论 若X的取值比较分散，则方差D(X)较大. 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的 离散程度 . 若X的取值比较集中，则方差D(X)较小； 因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它 是衡量X取值分散程度的一个尺度

←概率论 、方差的计算 由定义知,方差是随机变量X的函数 g(X=X-E(X12 的数学期望 X为离散型, ∑|xk-E(X)2pk 分布率 D(X) k=1 Ix -e(x)i f(r)da PXExk=Pk X为连续型,X概率密度f(x)

概率论 X为离散型， 分布率 P{X=xk }=pk 由定义知，方差是随机变量 X 的函数 g(X)=[X-E(X)]2 的数学期望 .      − − =    −  = [ ( )] ( ) , [ ( )] , ( ) 2 1 2 x E X f x dx x E X p D X k k k 二、方差的计算 X为连续型，X概率密度f(x)

←概率论 计算方差的一个简化公式 D(=E(X)-E(X12 展开 证:D(X)=EXE(X)2 FEX -2XE(X+E(X1) E(X2)-2[E(X)2+|E(X 利用期望 性质 =E(X2)-E(X)2

概率论 计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2 )-[E(X)]2 展开 证：D(X)=E[X-E(X)]2 =E{X2 -2XE(X)+[E(X)]2 } =E(X2 )-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2 )-[E(X)]2 利用期望 性质

←概率论 例1设随机变量X具有(01)分布,其分布率为 P{X=0}=1-p,P{X=1=p 求D(X) 解E(X)=0×(1-p)+1×p=p E(X)=0×(1-p)+1×p=p 由公式 D(X)=E(X2)-|E(X)=p-p2=p(1-p) 因此,0-1分布 E(X=P, D(X=p(I-p

概率论 例1 设随机变量X具有(0—1）分布，其分布率为 P{X = 0} = 1− p, P{X = 1} = p 求D(X) . 解 E(X) = 0(1− p) + 1 p = p E X =  − p +  p = p 2 2 2 ( ) 0 (1 ) 1 由公式 ( ) ( ) [ ( )] (1 ) 2 2 2 D X = E X − E X = p − p = p − p 因此,0-1分布 E(X) = p,D(X) = p(1− p)