北京大学：《概率论引论》第一章 统计模型与统计量

數理统计基础 主讲:于朝江 Email:yuchaojiang@swust.edu.cn 1-1

1 - 1 主讲： 于 朝 江 Email: yuchaojiang@swust.edu.cn 数理统计基础

课程内容介绍 第3章区间估计 3.1置信区间与置信限 3.2单参数分布族的置信区间 第1章统计模型与统计量 3.3存在讨厌参数时的置信区间构造 1.1随机数据 3.4渐近置信区间 1.2样本与样本分布 3.5顺序统计量的应用 1.3统计量与抽样分布 1.4常用分布 第4章假设检验 4.1基本概念 第2章点估计 4.2常用分布族的参数假设检验 2.1基本概念 4.3似然比检验 2.2无偏估计的方差下界 4.4双正态总体参数的假设检验 2.3UMU估计与充分完备统计量 4.7秩检验 2.4极大似然估计 2.5矩方法与最小二乘法 第5章实用线性模型 2.6贝叶斯估计 5.2方差分析 5.3线性回归分析 1-2

1 - 2 第1章 统计模型与统计量 1.1 随机数据 1.2 样本与样本分布 1.3 统计量与抽样分布 1.4 常用分布 第2章 点估计 2.1 基本概念 2.2 无偏估计的方差下界 2.3 UMVU估计与充分完备统计量 2.4 极大似然估计 2.5 矩方法与最小二乘法 2.6 贝叶斯估计 第3章 区间估计 3.1 置信区间与置信限 3.2 单参数分布族的置信区间 3.3 存在讨厌参数时的置信区间构造 3.4 渐近置信区间 3.5 顺序统计量的应用 第4章 假设检验 4.1 基本概念 4.2 常用分布族的参数假设检验 4.3 似然比检验 4.4 双正态总体参数的假设检验 4.7 秩检验 第5章 实用线性模型 5.2 方差分析 5.3 线性回归分析 课程内容介绍

概率论与数理统计是研究和揭示随机现 象统计规律性的一门学科,是重要的一个数 学分支。概率论是研究随机现象发生可能性 的大小的一门学科,而数理统计则是研究大 量随机现象数量规律的一门学科。它们之间 联系密切但也有根本差别,数理统计的方法 在自然科学、工程技术研究及社会科学领域 中应用极其广泛

1 - 3 概率论与数理统计是研究和揭示随机现 象统计规律性的一门学科，是重要的一个数 学分支。概率论是研究随机现象发生可能性 的大小的一门学科，而数理统计则是研究大 量随机现象数量规律的一门学科。它们之间 联系密切但也有根本差别，数理统计的方法 在自然科学、工程技术研究及社会科学领域 中应用极其广泛

问题的引入: 例考察某纺织厂某天生产的细纱的强力,由于 原材料及生产过程中许多随机因素的影响,每支细纱 的强力一般是不同的。用表一支细纱,则X(a)表示 这支细纱的强力,当ω变动时就得一随机变量X 1)如何求出(或近似求出)X的分布函数F(X); 2)假定X~N(A,a2)如何验证假设是否正确 3)假定X~N(,a2)如何估计p,aσ2 4)如何找出影响强力的主要因素。 这些都是属于数理统计研究解决的问题。 1-4

1 - 4 一、问题的引入： 例 考察某纺织厂某天生产的细纱的强力，由于 原材料及生产过程中许多随机因素的影响，每支细纱 的强力一般是不同的。用ω表一支细纱,则X(ω)表示 这支细纱的强力，当ω变动时就得一随机变量X。 2） 假 定 X～N(, 2 ) 如何验证假设是否正确。 3） 假定 X～N(, 2 ) 如何估计 ， 2 。 1) 如何求出（或近似求出）X 的分布函数F(X)； 4） 如何找出影响强力的主要因素 。 这些都是属于数理统计研究解决的问题

数理统计的概念 数理统计:研究大量随机现象数量规律的一门科学 三、中心任务、基本内容、统计步骤 中心任务:由局部推断整体 2.基本内容: 前人经验 分布函数的估计理论推导 近似作图 2)未知参数的估计(点估计、区间估计 3)统计假设检验(检验分布、检验参数) 4)一事物诸性质间的关系(回归分析) 5)分析影响事物的因素(方差分析) 3统计步骤: 1)叙述性工作 2)分析性工作 3)推断性工作 1-5

1 - 5 二、数理统计的概念 数理统计：研究大量随机现象数量规律的一门科学。 三、中心任务、基本内容、统计步骤 1. 中心任务：由局部推断整体。 2. 基本内容： 1）分布函数的估计      近似作图 理论推导 前人经验 2）未知参数的估计（点估计、区间估计） 3）统计假设检验（检验分布、检验参数） 4）一事物诸性质间的关系（回归分析） 5）分析影响事物的因素（方差分析） 3. 统计步骤: 1）叙述性工作 2）分析性工作 3）推断性工作

第1章统计模型与统计量 统计学分析处理的对象是带有随机性的数据, 由于数据来源的广泛性、多样性及获取方法的不同, 随机数据的形态是很丰富的。为对数据进行定性、 定量的分析处理,首先要对它们建立一定的数学模 型,在此基础上再选用适当的数学方法进行整理加 工。概率论是研究随机现象的数学理论,因此在统 计学中将随机数据看成是有一定分布的随机变量, 这样建立起来的数学模型就是统计数学模型,或简 称为统计模型。 1-6

1 - 6 第1章 统计模型与统计量 统计学分析处理的对象是带有随机性的数据， 由于数据来源的广泛性、多样性及获取方法的不同， 随机数据的形态是很丰富的。为对数据进行定性、 定量的分析处理，首先要对它们建立一定的数学模 型，在此基础上再选用适当的数学方法进行整理加 工。概率论是研究随机现象的数学理论，因此在统 计学中将随机数据看成是有一定分布的随机变量， 这样建立起来的数学模型就是统计数学模型，或简 称为统计模型

11随机数据 1.1.1随机数据的例子 试验中考察对象受各种随机因素的影响,检测出 的数据为随机数据。例如: 例111(见教材p)10只灯泡的寿命。 例112(见教材p2)10只灯泡的寿命为正品、次品。 例113(见教材p2)5组不同情况的居民的收入。 例114(见教材p2)三个反应时间树脂的各3次试验强度

1 - 7 1.1 随机数据 1.1.1 随机数据的例子 试验中考察对象受各种随机因素的影响，检测出 的数据为随机数据。例如： 例1.1.1 (见教材p1 ) 10只灯泡的寿命。 例1.1.2 (见教材p2 ) 10只灯泡的寿命为正品、次品。 例1.1.3 (见教材p2 ) 5组不同情况的居民的收入。 例1.1.4 (见教材p2 ) 三个反应时间树脂的各3次试验强度

112数据的简单处理 几种常用的对单一来源的一维数据作简单加工处 理的方法 1频率直方图: 频率分布直方图是用样本分组界值做为横坐 标,以频率与组距的比值做为纵坐标,做出的统 计图表,并以邻界的样本与其频率与组距的比值 做成长方形,可细致地反应数据散布的特点。 1-8

1 - 8 1.1.2 数据的简单处理 几种常用的对单一来源的一维数据作简单加工处 理的方法 1.频率直方图： 频率分布直方图是用样本分组界值做为横坐 标，以频率与组距的比值做为纵坐标，做出的统 计图表，并以邻界的样本与其频率与组距的比值 做成长方形，可细致地反应数据散布的特点

设数据为 n 取这组数据的最小值和大值 C=minir.C n1 2 C= maxX nn 19~2 n D求极差r=xm-xn 2)适当选取略小于xn的数a与略大于xmn的数b 根据数据量的大小分成若干个等长的小区间: (a,t1)、(1,t2)、…、(t1-1,t;)、…、(tk1,b) 1-9

1 - 9 1 1 xnn xn ）求极差 r = − 2) . 适当选取略小于xn1 的 数a 与略大于xnn 的 数b 根据数据量的大小分成若干个等长的小区间： ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) . a t 1 、t 1 t 2 、、t i−1 t i 、、t k−1 b   nn  n  n n n x x x x x x x x x x    1 2 1 1 2 1 max , min , , = = 取这组数据的最小值和最大值 设数据为

(3)把所有数据逐个分到各子区间内,并计算 数据落在各子区间内的 频数n1及频率∫=",(i=1,…,) (4)在OX轴上截取各子区间,并以各子区间为底,以 五为高作小矩形,各小知形的面积△S就等于 t -t 数据落在该子区间内的率∫ 注意:各小长方形面积的和为1 (见教材P对例111中的数据处理) 1-10

1 - 10 （4）在OX轴上截取各子区间，并以各子区间为底，以 . 1 i i i i i f S t t f 数据落在该子区间内的频 率 为高作小矩形，各小矩形的面积 就等于 − − （见教材P4对例1.1.1中的数据处理） 注意： 各小长方形面积的和为1 （3）把所有数据逐个分到各子区间内，并计算 数据落在各子区间内的 , (i 1 , , k) n n n f i 频 数 i 及频率 i = = 