《高等数学》课程教学资源：第六章 定积分（侯风波）

第六章定积分 第一节定积分的概念 第二节微积分基本公式 第三节定积分的积分方法 第四节广义积分 冈凶

第一节 定积分的概念 第二节 微积分基本公式 第三节 定积分的积分方法 第四节 广义积分 第六章 定积分

第一节定积分的概念 、定积分的实际背景 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质 冈

一、定积分的实际背景 二、定积分的概念 三、定积分的几何意义 四、定积分的性质 第一节 定积分的概念

第一节定积分的概念 、定积分的实际背景 1.曲边梯形的面积 曲边梯形:若图形的三条边是直线段,其中有两条垂直 于第三条底边,而其第四条边是曲线,这样的图形称为曲 边梯形,如左下图所示 M N 推广为 B 冈凶

第一节 定积分的概念 1. 曲边梯形的面积 曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲 边梯形，如左下图所示. y O M P Q N C B x A 推广为 A 一、定积分的实际背景

曲边梯形面积的确定方法:把该曲边梯形沿着y 轴方向切割成许多窄窄的长条,把每个长条近似看作 个矩形,用长乘宽求得小矩形面积,加起来就是曲 边梯形面积的近似值,分割越细,误差越小,于是当 所有的长条宽度趋于零时,这个阶梯形面积的极限就 成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示: f(x) o x1 2 冈凶

曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作 一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲 边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当 所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就 成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： x0 x1 x2 xn O x y y = f (x) x0 = a xn =b

曲边梯形面积的确定步骤: (1)分割任取分点a b 把底边[a,b分成n个小区间[,x2](=1,2,…,n) 小区间长度记为△x1=x1-x1(=1,2,…,m) (2)取近似在每个小区间[x12x]上任取一点 竖起高线f(5),则得小长条面积AA的近似值为 △A1≈f(51)Ax1(i (3)求和把n个小矩形面积相加(即阶梯形面积) 就得到曲边梯形面积A的近似值 f(51)Ax1+f(52)△x2+…+f(5n)△xn f(5;)Ax1; (4)取极限令小区间长度的最大值=max{△x} 趋于零,则和式∑f()Ax的极限就是曲边梯形面积A 的精确值,即A=lim∑f(5)Ax A-0 冈心

曲边梯形面积的确定步骤： (1)分 割 任取分点a = x0  x1  x2  xn−1  xn = b , 把底边[a,b]分成 n 个小区间[ 1 x , 2 x ] (i =1,2,,n) . 小区间长度记为 ( 1,2, , ); 1 x x x i n  i = i − i− =  (2) 取近似 在每个小区间[ i i x , x −1 ] 上任取一点 i  竖起高线 ( ) i f  ,则得小长条面积Ai 的近似值为 i i i A  f ( )x (i =1,2,,n ); (3) 求和 把 n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积) 就得到曲边梯形面积 A 的近似值 i n i n n i f x + f x + + f x =  f x = ( ) ( ) ( ) ( ) 1  1 1  2 2    ; (4) 取极限 令小区间长度的最大值  i i n = x 1   max 趋于零,则和式 i n i i  f x = ( ) 1  的极限就是曲边梯形面积 A 的精确值，即 0 1 lim ( ) . n i i i A f x   → = =  

变速直线运动的路程 设某物体作直线运动,已知速度v=v()是时间间 隔[T1,T2l上的连续函数,且(t)≥0,要计算这段时间内 所走的路程.解决这个问题的思路和步骤与上例类似: (1)分割任取分点T=t0<1<2<…<tn1<n=T2,把 1T2分成n个小段,每小段长为 (2)取近似把每小段[t1,4上的运动视为匀速, 任取时刻∈[t1,,],作乘积v()t1,显然这小段时间 所走路程△可近似表示为v()At(i=1,2,…,n); (3)求和把n个小段时间上的路程相加,就得到总 路程s的近似值,即 ∑v 冈凶

2．变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度v = v(t)是时间间 隔[ 1 2 T ,T ]上的连续函数，且v(t) ≥0，要计算这段时间内 所走的路程. 解决这个问题的思路和步骤与上例类似： (1)分割 任取分点 1 0 1 2 1 T2 T t t t t t =    n−  n = ，把 [ 1 2 T ,T ]分成 n个小段，每小段长为  i = i − i−1 t t t （i =1,2,,n ）; (2)取近似 把每小段[ i i t ,t −1 ]上的运动视为匀速， 任取时刻   i i i t , t   −1 ，作乘积 i i v( )t ，显然这小段时间 所走路程 i s 可近似表示为 i i v( )t （i =1,2,,n ）; (3)求和 把 n 个小段时间上的路程相加，就得到总 路程 s 的近似值，即 i n i i s  v t = ( ) 1  ;

(4)取极限当A=max{△t}→>0时,上述总和的极限 就是s的精确值,即s=im∑v(5)△ 二、定积分的概念 定义设函数y=f(x)在[a,b]上有定义,任取分点 =x1<x2<x3<…<xn1<xn=b,分[a,b1为n个小区间 x1,x1]( ).记 △x1=x1-x1(=1,2,…,n),2=max{△x1} 再在每个小区间[x1x,1上任取一点5,作乘积f(5)Ax 的和式: ∑f(C2)△ 冈凶

(4)取极限 当 max  0 1 =  →   i i n  t 时，上述总和的极限 就是s的精确值，即 i n i i s = v t = → lim ( ) 1 0   . a = x1  x2  x3  n n  x  x −1 = b ,分[ a , b ] 为 n 个小区间 [ , ] i 1 i x x − (i = 1,2,,n).记  i i n i i i x = x − x i = n = x   − 1 1 ( 1,2,, ), max , 再在每个小区间[ , ] i 1 i x x − 上任取一点  i ，作乘积 i i f ( )x 的和式： 定 义 设函数 y = f (x) 在[ a,b ]上有定义，任取分点 ( ) , 1 i n i i  f x =  二、定积分的概念

如果λ→>0时,上述极限存在(即,这个极限值与[a,b 的分割及点2的取法均无关),则称此极限值为函数f(x)在 区间[a,b]上的定积分,记为 (x)kx=im∑f()△x A→>0 其中称f(x)为被积函数(x)dx为被积式,x为积分变量, [a,b]为积分区间,a,b分别称为积分下限和上限 冈凶

如果 → 0时,上述极限存在（即，这个极限值与 [ a , b ] 的分割及点i 的取法均无关），则称此极限值为函数f (x)在 区间[ a , b ] 上的定积分，记为 ( )d lim ( ) , 1 0 i n i i b a f x x =  f x  = →   其中称 f (x)为被积函数,f (x)dx 为被积式，x 为积分变量， [ a , b ] 为积分区间，a,b 分别称为积分下限和上限

定积分定义的说明: (1)定积分表示一个数,它只取决于被积函数与积分上 下限,而与积分变量采用什么字母无关,例如: xax=2d一般地,∫f(x)x f(t)dz (2)定义中要求积分限ab时,f(x)dx f(x)dx (3)定积分的存在性:当f(x)在[a,b上连续或只有有 限个第一类间断点时,f(x)在a,b上的定积分存在(也称可 积) 冈凶

定积分定义的说明： (1)定积分表示一个数，它只取决于被积函数与积分上、 下限，而与积分变量采用什么字母无关，例如：   = 1 0 2 1 0 2 x dx t dt .一般地，   = b a b a f (x)dx f (t)dt . (2)定义中要求积分限 a  b ，我们补充如下规定： 当 a = b 时， = b a f (x)dx 0, 当 a  b 时，  = − b a a b f (x)dx f (x)dx . (3)定积分的存在性：当 f (x) 在 [ a , b ] 上连续或只有有 限个第一类间断点时, f (x)在[ a , b ] 上的定积分存在（也称可 积）

三、定积分的几何意义 如果f(x)>0,则J。fx)x20,此时。fx)dx 表示由曲线y=f(x),x=a,x=b及x轴所围成的曲边 梯形的面积A,即(x)dx=A 冈凶

如果 f (x)  0 ，则 ( )d 0 b a f x x   , 此时 ( )d b a f x x  表示由曲线y f x = ( )，x a x b = = , 及 x 轴所围成的曲边 梯形的面积 A，即 = b a f (x)dx A . O x y a b A y=f(x) 三、定积分的几何意义