北京大学：《概率论引论》第五章 母函数与特征函数及极限定理

第五章 母函数与特征函数及极限定理 §1母函数

第五章 母函数与特征函数及极限定理 §1 母函数

§1母函数 非负整值随机变量的母函数(这是离散型随机 变量经常遇到的情形) (一)定义设X为非负整值随机变量,它的 概率分布为:P(X=k)=P,k=0,2 称g(z)=∑Pkz(1) k=0 为X的概率母函数,简称母函数。 白母函数的定义可见,知道了X的分布列,就知 道了X的母函数

§1 母函数 一。非负整值随机变量的母函数（这是离散型随机 （一）定义 设X为非负整值随机变量，它的 P(X = k) = p , k = 0,1,2,... k 称   = = 0 ( ) k k k g z p z 概率分布为： （1。1） 为X的概率母函数，简称母函数。 由母函数的定义可见，知道了X的分布列，就知 变量经常遇到的情形） 道了X的母函数

反之,如果知道了X的母函数,由 8(=)=p+P12+…+p=+…可得 (k) po=g(0),D1=g(0 (0 …,Pk ,k=0, g(0 k k h,k=0.1 1。2 因此,分布列和母函数是一一对应的。 (二)几种常见分布的母函数 (1)X~B(1p)g()=∑pk= (1 p)+pz=g+p Tso (1。3)

( ) ... ... = 0 + 1 + + + k k g z p p z p z 反之，如果知道了X的母函数，由 可得 (0), (0),..., p0 = g p1 = g  , 0,1,... ! (0) ( ) = k = k g p k k 即 , 0,1,... ! (0) ( ) = k = k g p k k 因此，分布列和母函数是一一对应的。 （1。2） （二）几种常见分布的母函数 （1） X ~ B(1, p)   = = 0 ( ) k k k g z p z = (1− p) + pz = q + pz （1。3）

(2)X~B(n,p)8()=∑p=2 k=0 ∑Cn kk n-k k p g =∑C(m)qn(pz+q k=0 k=0 (1。4) (3)X~G(p) g()=∑q41px=p∑(q=)=,p2(1.5) k (4)X~P() g()=e=c∑() λ(2-1)(1。6) k=0

= = 0 ( ) k k k （ 2 ） X ~ B ( n , p ) g z p z   = = − − = = n k n k k k n k n k k n k k Cn p q z C pz q 0 0 ( ) n = ( pz + q ) （ 1 。 4 ） （ 3 ） X ~ G ( p )   = = − − = = 1 1 1 1 ( ) ( ) k k k k k g z q pz pz qz qz pz − = 1 （ 4 ） X ~ P ( )  = = − − = = 0 0 ! ( ) ! ( ) k k k k k kz e z e k g z     ( − 1 ) = z e  （ 1 。 5 ） （ 1 。 6 ）

三。母函数的性质 定理设X12X2…,Xn为相互独立的非 整值随机变量,g1(z),g2(z),…,gn(z) 为它们的母函数,则 y=∑X的母函数为 g()=∏g(=)(1。7)(证略) 这一重要性质为求各相互独立随机变量之和的 分布列提供了另一种方法

三。母函数的性质 这一重要性质为求各相互独立随机变量之和的 分布列提供了另一种方法。 定理 设 X1 , X2 ,..., Xn 为相互独立的非负 ( ), ( ),..., ( ) 1 2 g z g z g z 整值随机变量， n 为它们的母函数，则 = = n i Y Xi 1 的母函数为 = = n i i g z g z 1 ( ) ( ) （1。7） （证略）

例。1设X1~B(1,p),各X相互独立 X=∑X1,求x的分布 解:∵g(z)=q+p2z,g(2z)=(q+P2z) X B(n,p) 例1。2设X~G(p),各X,相互独立 X=∑X1,求X的分布。 解∷∴g(z)=P2 pz g'&(3 gz

例1。1 设 X ~ B(1, p) i  ，求X的分布。 = = n i X Xi 1 ，各 Xi 相互独立。 ( ) , ( ) ( ) . n 解：  gi z = q + pz g z = q + pz  X ~ B(n, p) 例1。2 设 X ~ G( p) i  ，求X的分布。 = = n i X Xi 1 ，各 Xi 相互独立。 n i qz pz g z qz pz g z ) 1 , ( ) ( 1 ( ) −  = − 解：  =

=p"z(1-qz)(泰勒展开) Penn(n+1)n+k-1) (q=)(见P。58) k=0 p22∑ n-1 k n k-1(q2 k=0 n+k=t nn ∑C(q)"=∑C 1-」 k-n k k-1p q t=n k P(X=k=Ck-lp"q,k=n,n+1 即Xx~B(m,p)

n n n p z qz − = (1− ) （泰勒展开）   = + + − = 0 ( ) ! ( 1)...( 1) k n n k qz k n n n k p z （见P。58）   = − = + − 0 1 1 ( ) k n k n k n n p z C qz    = − − −  = − − − + = = = k n n n k n k k t n n t n t n n n k t p z C qz C p q z 1 1 1 1 ( ) ( ) , , 1,... 1  = = 1 = + − − P X k C − p q k n n n n k n k 即 ~ ( , ) 1 X B n p −

例1。3掷三颗骰子,求总点数为9的概率。 解:设X:为第讠颗骰子的点数,i=1,2,3 则总点数为:X=X1+X2+X32 P(X;=k)=,k=1,2,,6;i=1,2,,6 所以,x,的母函数为: ∑ k=1 6 X的母函数为: g()=(1-32°+322-281-=)

例1。3 掷三颗骰子，求总点数为9的概率。 设 Xi 为第 i 颗骰子的点数， i =1,2,3 则总点数为： , X = X1 + X2 + X3 解： , 1,2,...,6; 1,2,...,6 6 1 P(Xi = k) = k = i = k k g z  z = = 6 1 6 1 ( ) 6(1 ) (1 ) 6 z z z − − = 所以， Xi 的母函数为： X 的母函数为： 6 1 2 1 8 3 3 3 3 (1 3 3 )(1 ) 6 ( ) − = − z + z − z − z z g z

g2(-)=3(1-32+3=42-=18)∑Ck(q k: z的糸数包括两项: k=0为、3 k=6时为-C 6+2 25 P(X=9)=3( 2 216 必须指出:用母函数处理问题是,经常要用到 泰勒展开式

  = − = − + − + − 0 3 1 3 1 6 1 2 1 8 3 3 3 (1 3 3 ) ( ) 6 ( ) k k z z z C k qz z g z 216 25 ( 3) 6 1 ( 9) 2 P X = = 3 C8 − = 9 z 的糸数包括两项： , 6 3 3 − k=6时为 2 3 6 2 6 1 C + k=0时为 必须指出：用母函数处理问题是，经常要用到 泰勒展开式

四。母函数与数字特征的关系 定理设随机变量X的期望、方差和母函数 分别为E(X)2D(X),g(z),则有 (1)E(X)=g(1),(1。8) (2)D(X)=g"()+g(1)-[g(1)2.(1。9) 证:(1);g(-)=∑p2,g(2)=∑k k=0∞ k: 从而有:g()=∑kpk=E(X) (2)只需证明:E(X2)=g()+g(1)

四。母函数与数字特征的关系 定理 设随机变量X的期望、方差和母函数 分别为 E(X ), D(X ), g(z) ，则有： （1） E(X ) = g (1); （2） ( ) (1) (1) [ (1)] . 2 D X = g  + g  − g  证：    = −  = =   = 1 1 0 ( ) , ( ) . k k k k k k  g z p z g z k p z 从而有：   =  = = 1 (1) ( ). k g k pk E X （1） （2）只需证明： ( ) (1) (1). 2 E X = g  + g  （1。8） （1。9）