河北地质大学（石家庄经济学院）：《数学软件与实验》课程教学资源（数学建模实验解题）录象机计数器的用途

录象机计数器的用途 经试验,一盘录象带从头走到尾, 问时间用了183分30秒,计数器读数 题 从0000变到6152。 在一次使用中录象带已经转过大半,计数器读数为 4580,问剩下的一段还能否录下1小时的节目? 思考计数器读数是均匀增长的吗? 要求不仅回答问题,而且建立计数器读数与 录象带转过时间的关系

问 题 经试验，一盘录象带从头走到尾， 时间用了183分30秒，计数器读数 从0000变到6152。 在一次使用中录象带已经转过大半，计数器读数为 4580，问剩下的一段还能否录下1小时的节目？ 要求 不仅回答问题，而且建立计数器读数与 录象带转过时间的关系。 思考 计数器读数是均匀增长的吗？ 录象机计数器的用途

观察计数器谈数增长越来越慢! 问题分析录象机计数器的工作原理 左轮盘 右轮盘 0000 计数器 主动轮 录象带磁头 压轮 录象带运动方向 录象带运动右轮盘半径增大计数器读数增长变慢 录象带运动速度是常数 右轮转速不是常数

录象机计数器的工作原理 主动轮 压轮 左轮盘 0000 右轮盘 磁头 计数器 录象带 录象带运动方向 录象带运动 右轮盘半径增大 录象带运动速度是常数 右轮转速不是常数 计数器读数增长变慢 问题分析 观察 计数器读数增长越来越慢！

模型假设 录象带的运动速度是常数v 计数器读数n与右轮转数m成正比,记m=kn; 录象带厚度(加两圈间空隙)为常数w; 空右轮盘半径记作r; 时间t0时读数n=0 建模目的建立时间与读数n之间的关系 (设v,k,w,r为已知参数)

模型假设 • 录象带的运动速度是常数v ； • 计数器读数 n与右轮转数 m成正比，记 m=kn； • 录象带厚度（加两圈间空隙）为常数w； • 空右轮盘半径记作 r ； • 时间 t=0 时读数 n=0 . 建模目的 建立时间t与读数n之间的关系 （设v,k,w ,r为已知参数）

模型建立 建立与m的函数关系有多种方法 1.右轮盘转第i圈的半径为r+wm圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度v,所以 ∑2z(+w)=vt m=n wowk dark 12-

模型建立 建立t与n的函数关系有多种方法 1. 右轮盘转第i 圈的半径为r+wi, m圈的总长度 等于录象带在时间t内移动的长度vt, 所以 m = knn v rk n v wk t  2 2 2 = + = + = m i r wi v t 1 2 ( )

模型建立 2.考察右轮盘面积的 变化,等于录象带厚度3.考察到廿d录象带在 乘以转过的长度,即右轮盘缠绕的长度,有 Il(r+wkn)2-r2]=wit (r+wkn)2rkdn=vdt 212 dark 72-

2. 考察右轮盘面积的 变化，等于录象带厚度 乘以转过的长度，即 [(r + wkn) − r ] = wvt 2 2  n v rk n v wk t  2 2 2 = + 3. 考察t到t+dt录象带在 右轮盘缠绕的长度，有 (r + wkn)2kdn = vdt   模型建立

思考1.3种建模方法得到同一结果 ∑2z(r+w)=v dark z[(r+wkn)2-r]=wIt y 1+ (r+wkn)2rkdn= vdt 但仔细推算会发现稍有差别,请解释。 2模型中有待定参数r,W,V,k, 种确定参数的办法是测量或调查,请设计测量方法

思考 n v rk n v wk t  2 2 2 = + 1. 3种建模方法得到同一结果 但仔细推算会发现稍有差别，请解释。 2.模型中有待定参数 r,w,v, k, 一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。 = + = m i r wi v t 1 2 ( ) [(r + wkn) − r ] = wvt 2 2  (r + wkn)2kdn = vdt

参数 估计另一种确定参数的方法测试分析 将模型改记作t=an2+bn,只需估计a,b 理论上,已知仁183.5,n=6152,再有一组(4n)数据即可 实际上,由于测试有误差,最好用足够多的数据作拟合 现有一批测试数据: t|020406080 用最小二乘法可得 n0000113204528003466a=2.51×10 t1001201401601835 n40684621513556196152b=1.44×10-2

参数 估计 另一种确定参数的方法——测试分析 将模型改记作 , 2 t = an + bn 只需估计 a,b 理论上，已知t=183.5, n=6152, 再有一组(t, n)数据即可 实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合 现有一批测试数据： t 0 20 40 60 80 n 0000 1153 2045 2800 3466 t 100 120 140 160 183.5 n 4068 4621 5135 5619 6152 用最小二乘法可得 1.44 10 . 2.51 10 , 2 6 − − =  =  b a

模型检验 应该另外测试一批数据检验模型 t=an2+bn(a=2.51×10,b=1.44×102) 模型应用 回答提出的问题:由模型算得n=4580时t=118.5分 剩下的录象带能录183.5-118.5=65分钟的节目。 揭示了“t与n之间呈二次函数关系”这一普遍规律 当录象带的状态改变时,只需重新估计a,b即可

模 型 检 验 应该另外测试一批数据检验模型： t = an +bn 2 ( 2.51 10 , 1.44 10 ) −6 −2 a =  b =  模 型 应 用 回答提出的问题：由模型算得 n = 4580 时 t = 118.5分， 剩下的录象带能录 183.5-118.5 = 65分钟的节目。 揭示了“t 与 n 之间呈二次函数关系”这一普遍规律， 当录象带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可