北京大学：《概率论引论》第四章 随机变量的数字特征

第四章 随机变量的数字特征 §1随机变量的期望

第四章 随机变量的数字特征 §1 随机变量的期望

随机变量的分布能全面反映随机变量取值 的概率分布情况,但实际问题中概率分布较 难确定,有时也无必要,不少问题只需知道 它的某些数字特征就够了。 在这些数字特征中,期望和方差是最基本又是 最重要的两个。 。期望的概念 设随机变量X的分布列为: P(X=x)=pk2k=1,2 希望找到一个数值来体现X取值的平均大小 这个值就叫做期望(均值或数学期望)

随机变量的分布能全面反映随机变量取值 的概率分布情况，但实际问题中概率分布较 难确定，有时也无必要，不少问题只需知道 它的某些数字特征就够了。 在这些数字特征中，期望和方差是最基本又是 最重要的两个。 一。期望的概念 设随机变量X的分布列为： P(X = x ) = p , k =1,2,... k k 希望找到一个数值来体现X取值的平均大小。 这个值就叫做期望（均值或数学期望）

期望严格的定义如下: 定义1设离散型随机变量X的分布列为: P(X=x)=p2k=1,2 则称无穷级数∑xPk(1,1) k 为随机变量X的期望。记作E(X) 这里还要求无穷级数绝对收敛,即∑|xPk∞ 以保证该级数的和在求和过程中不受各项次序的影响。 如果离散型随机变量X=x的频数为nk, 则X的期望E(x)=∑xP=∑xn(1。2) k=1 其中

期望严格的定义如下： 定义1 设离散型随机变量X的分布列为： P(X = x ) = p , k =1,2,... k k 则称无穷级数  k k k x p （1。1） 为随机变量X的期望。记作 E(X ) 这里还要求无穷级数绝对收敛，即    k k pk | x | 以保证该级数的和在求和过程中不受各项次序的影响。 如果离散型随机变量 X = xk 的频数为 , nk 则X的期望   = = = = m k k k m k k k x n n E X x p 1 1 1 ( ) （1。2） 其中 = = m k nk n 1

定义2设连续型随机变量X的概率密度为p(x) 如果x(x)x<+则定义 E(X)= xp(x)dx (1.3 随机变量X的期望的定义的一般形式可写成: E(X)=/xadF(x)(1。4) 。几个常用分布的期望 (-)两点分布 设Ⅹ~B(1,p)其分布列为: P(X=k)=p(1-p),k=01 则E(X)=0·(1-p)+1·p=p

定义2 设连续型随机变量X的概率密度为 p(x), 如果 ( )  +,  + − x p x dx 则定义  + − E(X) = x p(x)dx （1。3） 随机变量X的期望的定义的一般形式可写成：  + − E(X) = xdF(x) （1。4） 二。几个常用分布的期望 （一）两点分布 X ~ B(1, p) ( ) (1 ) , 0,1 1 = = − = − P X k p p k k k 设 其分布列为： 则 E(X ) = 0(1− p) +1 p = p

(二)泊松分布 设X~P()其分布列为 n'e PX=k k=0,1,2,,>0 k l hke- k-1 则E(X)=∑k 足 k=0 (k-1) ∑ (三)几何分布 设X~G(p),其分布列为: P{X=k}=(1-p)p,k=1, 则E(X)=∑k(1-p)p=(级数逐项积分 k

（二）泊松分布 设 X ~ P() , 0,1,.2,... ! { = } = = − k k e P X k k     0 其分布列为： 则   = − =  0 ! ( ) k k k e E X k     = − − − = 1 1 ( 1)! k k k e      = − = 0 ! t t t e        =  = − e e （三）几何分布 X ~ G( p) { } (1 ) , 1,2,... 1 = = − = − P X k p p k k 设 ，其分布列为： 则 =  − = − k k p E X k p p 1 ( ) (1 ) 1 （级数逐项积分）

(四)正态分布 设X~N(,O2),其概率密度为: e 2 <y< √2z 则E(x)=x: e (x-)2/2 dx 2丌0 t=(x-)/a + e 2丌 + dt 2丌

（四）正态分布 ~ ( , ) 2 X N   = −    − − p x e x x , 2 1 ( ) 2 2 2 ( )     设 ，其概率密度为： 则 E X x e dx x 2 2 ( ) / 2 2 1 ( )    − − + − =   + − − = − = + t e dt t t x / 2 ( )/ 2 ( ) 2 1        =   =  + − − e dt t / 2 2 2 1

第四章 随机变量的数字特征 §2随机变量函数 的期望公式与期望的性质

第四章 随机变量的数字特征 §2 随机变量函数 的期望公式与期望的性质

随机变量函数的期望公式 设随机变量X的分布函数为F(x,(连续型随 机变量的概率密度为p(x)或离散型随机变量的 分布列为P(X=xk)=Pk),Y=f(X是随 机变量的函数,则Y的期望为: E(Y)=EL(x]=f(x)dF(x) f(x)p(x)ahx连续型 (2。1) ∑f(xk)Pk离散型 由上述定义可知,计算随机变量函数的期望 不必先求出随机变量函数的分布

设随机变量X的分布函数为F(x),（连续型随 机变量的概率密度为p(x)或离散型随机变量的 分布列为 ）,Y=f(X)是随 机变量的函数，则Y的期望为：  + − E(Y) = E[ f (x)] = f (x)dF(x) k pk p(X = x ) = 一。 随机变量函数的期望公式      =   + − k k pk f x f x p x dx ( ) ( ) ( ) 连续型 离散型 由上述定义可知，计算随机变量函数的期望 不必先求出随机变量函数的分布。 （2。1）

随机变量函数的期望的定义,可推广到n维 随机向量函数的期望: 设n维随机向量X的分布函数为F(x12x2…,xn) Y=f(X)是随机向量X的函数,则Y的期望为: E(r=Elf(X f(xi, x2, ndF(x,x2 xn) 如果随机向量为连续型,其概率蜜度是: p(x1,x2…,x),则 HoC E(Y)= f(x,x2,…,xn)pD(x1,x2…,xn)dax1,.b, (2。2)

随机变量函数的期望的定义，可推广到n维 随机向量函数的期望： ( , ,..., ) 1 2 n p x x x 如果随机向量为连续型，其概率密度是： ，则   + − + − = n n dx dxn E(Y) ... f (x , x ,..., x ) p(x , x ..., x ) ... 1 2 1 2 1 （2。2） 设n维随机向量X的分布函数为 Y=f(X)是随机向量X的函数，则Y的期望为： E(Y) = E[ f (X )] ( , ,..., ), 1 2 n F x x x   + − + − = ... ( , ,... ) ( , ,..., ) 1 2 n 1 2 n f x x x dF x x x

类似地可定义n维离散型随机向量函数的期望。 特别,当(X,Y)为二维连续型随机向量,Pp(x,y) 是其概率密度,Z=f(x,y)是(X,Y)的二元函数时, 则有:E(Z)= f(, yp(x, y)dxdy 从而有: E(X=Dxpx, )drdy=[xp (x)x(2. 3) E()=∫J(xy)dd=m()h(2 +OO P+oO E(XY xy(x,y)dxdy(2。5)

特别，当（X，Y）为二维连续型随机向量， Z = f (x, y) 是（X，Y）的二元函数时， p(x, y) 是其概率密度， 则有：   + − + − E(X) = x p(x, y)dxdy  + − = xp x dx X ( )   + − + − E(Y) = yp(x, y)dxdy  + − = yp y dy Y ( )   + − + − E(XY) = xyp(x, y)dxdy （2。3） （2。4） （2。5） 类似地可定义n维离散型随机向量函数的期望。   + − + − E(Z) = f (x, y) p(x, y)dxdy 从而有：