《高等数学》课程教学资源：第二章 极限与连续（侯风波）

第二章极限与连续 第一节极限的定义 第二节极限的运算 第三节函数的连续性

第一节 极限的定义 第二节 极限的运算 第三节 函数的连续性 第二章 极限与连续

第一节极限的定义 、函数的极限 二、数列的极限 三、极限的性质 四、极限分析定义 五、无穷小量 六、无穷大量

一、函数的极限 二、数列的极限 三、极限的性质 四、极限分析定义 五、无穷小量 六、无穷大量 第一节 极限的定义

第一节极限的定义 函数的极限 1.x→>x0时函数f(x)的极限 引例从函数图形特征观察函数的极限 如图1:当x-1时,f(x)=x+1无限接近2; 如图2:当x→)1时,g(x)=x无限接近于2 f(x)=x+1 1O1 图1 图2

第一节 极限的定义 １ ． 0 x x → 时函数 f x( )的极限 引 例 从函数图形特征观察函数的极限 如图１：当x →1时 ， f x x ( ) 1 = + 无限接近２； 如图２：当x →1时 ， 2 1 ( ) 1 x g x x − = − 无限接近于２． -1 O 1 x 1 1 ( ) 2 − − = x x g x y 图１ 图２ -1 O 1 (1,2) x y f(x)=x+1 一、函数的极限

函数f(x)=x+1与g(x)=x是两个不同的函数,前者 在x=1处有定义,后者在x=1处无定义.这就是说,当 x→>1时,f(x),g(x)的极限是否存在与其在x=1处是否 有定义无关 邻域的概念:开区间(x-8,x+δ)称为以x为中 心,以δ(>0)为半径的邻域,简称为点x的邻域, 记为N(x,δ).用N(x0,6)表示x的空心邻域,即 (x1-6,x)(x2x5+(6>0) 定义1设函数f(x)在x的某一空心邻域N(x0,) 内有定义,如果当自变量x在N(x2,6)内无限接近于x0 时,相应的函数值无限接近于常数A,则A为x→>x0时 函数f(x)的极限,记作imf(x)=A或f(x)→>A(x->x0) x->x0

邻域的概念：开区间（x − ，x + ）称为以 x为 中 心，以 （ ＞０）为半径的邻域，简称为点 x的邻域， 记 为N （x， ）．用N x( , ) ˆ0  表 示 0 x 的空心邻域， 即 0 0 0 0 ( , ) ( , )( 0) x x x x − +     ． 函数 f x x ( ) 1 = + 与 2 1 ( ) 1 x g x x − = − 是两个不同的函数，前者 在x =1处有定义，后者在x =1处无定义．这就是说，当 x →1时， f x( )，g x( )的极限是否存在与其在x =1处是否 有定义无关． 定义１ 设函数 f x( )在 0 x 的某一空心邻域N x( , ) ˆ0  内有定义，如果当自变量 x 在 0 N x( , ) ˆ  内无限接近于 0 x 时，相应的函数值无限接近于常数 A ，则 A 为 0 x x → 时 函数 f x( )的极限，记作 0 lim ( ) x x f x A → = 或 0 f x A x x ( ) ( ) → → ．

2.x→x时函数f(x)的极限 定义2设函数f(x)在x0的右半邻域(x02x+6)内 有定义,当自变量x在此半邻域内无限接近于x时,相应 的函数值f(x)无限接近于常数A,则称A为函数f(x)在 x处的右极限,记为 imf(x)=A,f(x)=A或f(x)→>A(x→>x 由该定义可知,讨论函数f(x)在x处的右极限 imf(x)=A时,在自变量x无限接近于x0的过程中,恒 Xo 有x>x0.于是有limf(x)=limf(x)=A x→

２． 0 x x → +时函数 f x( )的极限 定义２ 设函数 f x( )在 0 x 的右半邻域 0 0 ( , ) x x + 内 有定义，当自变量x在此半邻域内无限接近于 0 x 时，相应 的函数值 f x( )无限接近于常数 A，则称 A为函数 f x( )在 0 x 处的右极限，记为 由该定义可知, 讨论函数 f x( ) 在 0 x 处的右极限 0 lim ( ) x x f x A → + = 时，在自变量 x 无限接近于 0 x 的过程中，恒 有 0 x x  .于是有 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x f x f x A → → + − = = . 0 0 0 lim ( ) ( ) ( ) ( ). x x f x A f x A f x A x x + + + → = = → → ， 或

3.x→>x0时函数f(x)的极限 定义3设函数f(x)在x0的左半邻域(x0-8,x0)内 有定义,当自变量x在此半邻域内无限接近于x时, 相应的函数值f(x)无限接近于常数A,则称A为函数 f(x)在x处的左极限,记为limf(x)=A,或f(x0)=A或 f(x)→>A(x→>x0) 由该定义知,讨论函数f(x)在x0处的左极限 limf(x)=A时,在自变量x无限接近于x0的过程中,恒 x→ 有xx0 x→>x0

定 义 3 设函数 f (x)在 0 x 的左半邻域( , ) 0 0 x − x 内 有定义，当自变量 x在此半邻域内无限接近于 0 x 时， 相应的函数值 f (x) 无限接近于常数 A，则称 A为函数 f (x)在 0 x 处的左极限，记为 f x A， x x = → − lim ( ) 0 或 f x = A − ( ) 0 或 ( ) ( ). 0 → → − f x A x x 3． − → 0 x x 时函数 f (x)的极限 由 该 定 义 知 , 讨 论 函 数 f (x) 在 0 x 处 的 左 极 限 f x A x x = → − lim ( ) 0 时，在自变量 x 无限接近于 0 x 的过程中，恒 有 0 x  x ,于是有 f x f x A x x x x = = → + → − lim ( ) lim ( ) 0 0

定理1imf(x)=A的充要条件是 x->x0 lim f(x)=lim f(x)=A x→>x0 x0 并讨论limf(x),imf(x),limf(x)是否存在 0 0 解f(x)的图形如图3(见下页)所示,由该图不难 看出 lim f(x)=0; lim f(x)=0; lim f(x)=0 x->0 x→>0

定理 1 f x A x x = → lim ( ) 0 的充要条件是 lim ( ) lim ( ) . 0 0 f x f x A x x x x = = → + → − 例 1 设 , 0 ( ) 1 , 0 , 0 x x f x x x x −   = =     ， ， ， 画出该函数的图形， 并讨论lim ( ) 0 f x x→ − ，lim ( ) 0 f x x→ ，lim ( ) 0 f x x→ + 是否存在． 解 f (x)的图形如图 3(见下页)所示，由该图不难 看出： lim ( ) 0 0 = → − f x x ；lim ( ) 0 0 = → f x x ；lim ( ) 0 0 = → + f x x

图3 图4 x0, 函数),画图讨论 lim sgn x, limon x, lim sgn x是否存在 x-)0 x->0 x→>0+ 解函数snx的图形如图4(见右上图)所示,不难看 出; limsgnx=-1; lim sgn x=1; lim sgn x不存在 x→>0

例 2 设 1 , 0 sgn 0 , 0 1 , 0 x x x x −   = =     ， ， ， (通常称 sgn x为符号 函 数)，画图讨论lim sgn , 0 x x→ − limsgn , 0 x x→ x x lim sgn 0 → + 是否存在． 解 函数sgn x的图形如图 4(见右上图)所示，不难看 出；limsgn 1 0 = − → − x x ；lim sgn 1 0 = → + x x ； x x limsgn →0 不存在. y -1 O 1 x 1 图 3 O -1 x 1 y 图 4

4.x→>∞时函数f(x)的极限 定义4设函数f(x)在x|>a时有定义(a为某个正实 数),如果当自变量x的绝对值无限增大时,相应的函数值 f(x)无限接近于常数A,则称A为x->∞时函数f(x)的 极限,记为lmf(x)=A或f(x)→>A(x→>∞) x→00 5.x->+∞时函数f(x)的极限 定义5设函数f(x)在(a,+∞)内有定义(a为某个正实 数),当自变量x无限增大时,相应的函数值f(x)无限接近 于常数A,则称A为x→>+∞时函数f(x)的极限,记为 if(x)=A或f(x)→>A(x→+∞) X→+∞O

4． x → 时函数 f (x)的极限 定义 4 设函数 f (x)在| x | a 时有定义( a 为某个正实 数)，如果当自变量 x 的绝对值无限增大时，相应的函数值 f (x)无限接近于常数 A ，则称 A 为 x →  时函数 f (x) 的 极限，记为 f x A x = → lim ( ) 或 f (x) → A(x → ). 5． x → +时函数 f (x)的极限 定义 5 设函数f(x)在(a,+)内有定义( a 为某个正实 数)，当自变量x无限增大时，相应的函数值 f (x)无限接近 于常数 A，则称A 为x → + 时函数 f (x) 的极限，记为 f x A x = →+ lim ( ) 或 f (x) → A(x → +)．

6.x-)-0时函数f(x)的极限 定义6设函数f(x)在(-∞,a)内有定义(a为某个 实数),当自变量无限变小(或-x无限变大)时,相应的 函数值f(x)无限接近于常数A,则称A为x→>-∞时函 数f(x)的极限,记limf(x)=A或f(x)→>A(x→>-∞) 定理21imf(x)=A的充要条件是 x→) limf(x)=lim f(x)=A

定义 6 设函数 f (x)在(−,a)内有定义( a为某个 实数)，当自变量无限变小(或− x无限变大)时，相应的 函数值 f (x)无限接近于常数 A，则称 A为x → −时函 数 f (x)的极限，记 f x A x = →− lim ( ) 或 f (x) → A(x → −)． 定理 2 lim ( ) x f x A → = 的充要条件是 limf(x) x→+ = f x A x = →− lim ( ) ． 6．x → −时函数 f (x)的极限