哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 第三节 协方差及相关系数

←概率论 第三节协方差及相关系数 协方差 相关系数 课堂练习 小结布置作业

概率论 第三节 协方差及相关系数 协方差 相关系数 课堂练习 小结 布置作业

←概率论 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差, 对于二维随机变量(X,Y),我们除了讨论X与Y 的数学期望和方差以外,还要讨论描述X和Y之间 关系的数字特征,这就是本讲要讨论的 协方差和相关系数

概率论 前面我们介绍了随机变量的数学期望和方差， 对于二维随机变量（X，Y），我们除了讨论X与Y 的数学期望和方差以外，还要讨论描述X和Y之间 关系的数字特征，这就是本讲要讨论的 协方差和相关系数

←概率论 、协方差 1定义量E{X-E(X)Y-E(Y]称为随机变量X和 Y的协方差,记为COv(X,Y),即 COv(,Y=ERLX-EOXIIY-E(YI 2简单性质 (1)Cov(X, Y)=CoV(Y, X) (2)Cow(aX,bY)= ab cov(X,Y)a,b是常数 (3)Cov(X1+X2,r=Cov(X1,n+ Cov(X2,n

概率论 量E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]}称为随机变量X和 Y的协方差,记为Cov(X,Y) ，即 ⑶ Cov(X1+X2 ,Y)= Cov(X1 ,Y) + Cov(X2 ,Y) ⑴ Cov(X,Y)= Cov(Y,X) 一、协方差 2.简单性质 ⑵ Cov(aX,bY) = ab Cov(X,Y) a,b 是常数 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} 1.定义

←概率论 3.计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质,可得 COV(X, Y=ELX-EOIIY-E(YD FE(XY-E(XE(Y-E(E(X+E(XE(n E(XD-E(E(Y 即 COV(X,=E(XDE(XE(Y 可见,若X与y独立,COv(X,Y)=0

概率论 Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y) 可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 . 3. 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质，可得 Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y) 即

←概率论 特别地 COV(X, X)=E(X-E(X)=D(X) 4.随机变量和的方差与协方差的关系 D(X+Y=D()+D(r+ 2Cov(,y)

概率论 D(X+Y)= D(X)+D(Y)+ 2Cov(X,Y) 4. 随机变量和的方差与协方差的关系 特别地 ( , ) ( ) ( ) ( ) 2 2 Cov X X = E X − E X = D X

←概率论 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间 的关系,但它还受X与Y本身度量单位的影响.例如: Cov(hx, kr=k-CovX,n 为了克服这一缺点,对协方差进行标准化,这就引入 了相关系数

概率论 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间 的关系，但它还受X与Y本身度量单位的影响. 例如： Cov(kX, kY)=k 2Cov(X,Y) 为了克服这一缺点，对协方差进行标准化，这就引入 了相关系数

←概率论 二、相关系数 定义:设D(X)>0,D(Y)>0,称 Cov(,Y) √D(X)D(Y) 为随机变量X和Y的相关系数 在不致引起混淆时,记Px为O

概率论 二、相关系数 为随机变量 X 和 Y 的相关系数 . 定义: 设D(X)>0, D(Y)>0, ( ) ( ) ( , ) D X D Y Cov X Y  XY = 称 在不致引起混淆时，记  XY 为 

←概率论 相关系数的性质: 1.|Pk1 证:由方差的性质和协方差的定义知, 对任意实数b 0≤D(Y-bX 由于方差D(Y)是正的故必有 令b=CXy1-P≥0,所以P1 D(X) D(Y-bX)=D(Y) -(,r)I D(X =D(Y川1 Cov(X,YI D(Y[1-p2] D(XD(Y

概率论 相关系数的性质： 1. |  | 1 证: 由方差的性质和协方差的定义知, 对任意实数 b, 有 0≤D(Y-bX)= b 2D(X)+D(Y)-2b Cov(X,Y ) ( ) ( , ) D X Cov X Y 令 b = ，则上式为 D(Y- bX)= ( ) [ ( , )] ( ) 2 D X Cov X Y D Y − ] ( ) ( ) [ ( , )] ( )[1 2 D X D Y Cov X Y = D Y − ( )[1 ] 2 = D Y −  由于方差D(Y)是正的,故必有 1- ≥ 0,所以 | |≤1。 2  

←概率论 2.X和Y独立时,P=0,但其逆不真 由于当X和Y独立时,Cov(X,Y)=0 Cov(X,Y) 故P=、D(X)DOY) 0 但由ρ=0并不一定能推出X和Y独立 请看下例

概率论 2. X和Y独立时，  =0，但其逆不真. 由于当X和Y独立时，Cov(X,Y)= 0. 故 ( ) ( ) ( , ) D X D Y Cov X Y  = = 0 但由  = 0 并不一定能推出X和Y 独立. 请看下例

←概率论 例1设X服从(-1/2,1/2)内的均匀分布,而Y=cosx, 不难求得Cov(Y,Y)=0, 事实上,X的密度函数 <x< f(x)=122可得E(X)=0 0其它 E(Xr=E(X coS X)=jxcos xf (x) dx=0 COv(X, Y=E(XD-E(XE()=0

概率论 ， Cov(X,Y)=0， 事实上，X的密度函数      −   = 0 其它 2 1 2 1 1 ( ) x f x 可得E(X ) = 0 ( ) ( cos ) cos ( ) 0 2 1 2 1 = =  = − E XY E X X x xf x d x Cov(X,Y) = E(XY) − E(X )E(Y) = 0 例1 设X服从(-1/2, 1/2)内的均匀分布 , 而Y=cos X, 不难求得