哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第四章 随机变量的数字特征 第一节 数学期望

←概率论 节数学期望 离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习 小结布置作业

概率论 第一节 数学期望 离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习 小结 布置作业

←概率论 在前面的课程中,我们讨论了随机变量及其分 布,如果知道了随机变量X的概率分布,那么X的 全部概率特征也就知道了 然而,在实际问题中,概率分布一般是较难 确定的.而在一些实际应用中,人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质,只要知道它的某些 数字特征就够了

概率论 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了

←概率论 因此,在对随机变量的研究中,确定某些数 字特征是重要的 在这些数字特征中,最常用的是 数学期望、方差、协方差和相关系数

概率论 因此，在对随机变量的研究中，确定某些数 字特征是重要的 . 在这些数字特征中，最常用的是 数学期望、方差、协方差和相关系数

←概率论 离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入: 我们来看一个引例 例1某车间对工人的生产情况进行考察.车工 小张每天生产的废品数X是一个随机变量.如何定 义X的平均值呢? 我们先观察小张100天的生产情况

概率论 一、离散型随机变量的数学期望 1、概念的引入： 我们来看一个引例. 例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工 小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定 义X的平均值呢？ 我们先观察小张100天的生产情况

←概率论 若统计100天, 32天没有出废品 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品 (假定小张每天至多出 21天每天出三件废品; 现三件废品) 可以得到这100天中 这个数能否作为 每天的平均废品数为 X的平均值呢? 32 30 17 21 0 +2 +3 1.27 100100 100 100

概率论 若统计100天, 32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品; 1.27 100 21 3 100 17 2 100 30 1 100 32 0 +  +  +  = 可以得到这100天中 每天的平均废品数为 这个数能否作为 X的平均值呢？ （假定小张每天至多出 现三件废品 ）

←概率论 可以想象,若另外统计100天,车工小张不出废品, 出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般 不会完全相同,这另外100天每天的平均废品数也不 定是127 般来说,若统计n天, n0天没有出废品; (假定小张每天至多出 n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; 三件废品) n3天每天出三件废品 可以得到n天中每天的平均废品数为 0.-0+1 n +2.+3 n n n n

概率论 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品， 出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般 不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不 一定是1.27. n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品. n n n n n n n n0 1 2 3 0 +1 + 2  + 3 可以得到n天中每天的平均废品数为 (假定小张每天至多出 三件废品) 一般来说, 若统计n天

←概率论 n 0.0+1.+2.22+3 n n n 这是 当N很大时,频率接近于概率,以频率为权的加权平均 所以我们在求废品数X 的平均值时,用概率代替 频率,得平均值为 这是 0·B+1·n1+2·p2+3·B3<以概率为权的加权平均 这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变 量X的平均值

概率论 这是 以频率为权的加权平均 n n n n n n n n0 1 2 3 0 +1 + 2  + 3 当N很大时，频率接近于概率， 所以我们在求废品数X 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为 0 p0 1 p1 2 p2 3 p3  +  +  +  这是 以概率为权的加权平均 这样得到一个确定的数. 我们就用这个数作为随机变 量X 的平均值

←概率论 定义1设X是离散型随机变量,它的分布率是: PXxk=Pk, k=1, 2 号●● 若级数∑xPk绝对收敛,则称级数∑x k= 的和为随机变量X的数学期望,记为E(X), E(X)=∑xP 请注意:离散型随机变量的数学期望是一个绝对收 敛的级数的和数学期望简称期望,又称为均值

概率论 定义1 设X是离散型随机变量，它的分布率是: P{X=xk }=pk , k=1,2,… 请注意 :离散型随机变量的数学期望是一个绝对收 敛的级数的和.数学期望简称期望，又称为均值。   = = 1 ( ) k E X xk pk 若级数   k=1 xk pk 绝对收敛，则称级数   k=1 k k x p E(X) 即 的和为随机变量X的数学期望，记为

←概率论 例1甲、乙二人进行打靶,所得分数分别记为X1,X2, 它们的分布率分别为 X 012 pk 00.20.8 Pk0.60.30.1 解:我们先来算X1和X2的数学期望, E(X1)=0×0+1×02+2×0.8=18(分) E(X2)=0×0.6+1×0.3+2×0.1=05(分)

概率论 例1 , , 甲、乙二人进行打靶，所得分数分别记为X1 X2 它们的分布率分别为 0 1 2 0 0.2 0.8 0 1 2 0.6 0.3 0.1 X1 pk X2 pk 解：我们先来算X1和X2的数学期望， 分） 分） ( ) 0 0.6 1 0.3 2 0.1 0.5( ( ) 0 0 1 0.2 2 0.8 1.8( 2 1 =  +  +  = =  +  +  = E X E X

←概率论 例2设X~7(1,求E(X) 解X的分布率为 PIX=k k=0,1,2,…,>0 ! X的数学期望为 E(X) - ee k(k-1)! 即E(X)=λ

概率论 例 2 设X ~  (), 求E(X). , 0,1,2, , 0 ! { = } = =  −    k  ke P X k X k 解 的分布率为           = = = − = = − = − − = −   ( ) ! ( 1)! ( ) 1 1 0 E X e e k e ke E X k X k k k k 即 的数学期望为