哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第二章 随机变量及其分布（2.3）随机变量的分布函数

←概率论 第三节随机变量的分布函数 随机变量分布函数的定义 分布函数的性质 小结布置作业

概率论 第三节 随机变量的分布函数 随机变量分布函数的定义 分布函数的性质 小结 布置作业

←概率论 分布函数的定义 设X是一个rv,称 F(x)=P(X≤x)(-∞<x<+∞) 为X的分布函数,记作F(x) 如果将X看作数轴上随机点的坐标,那么分 布函数F(x)的值就表示X落在区间(-∞,x]内的 概率

概率论 一、分布函数的定义 如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分 布函数 F(x) 的值就表示 X落在区间 (−, x] 内的 概率. x o X Xx  设 X 是一个 r.v，称 F(x) = P(X  x) (−  x  +) 为 X 的分布函数 , 记作 F(x)

←概率论 请注意: (1)在分布函数的定义中,X是随机变量,x是参变量 (2)F(x)是rvX取值不大于x的概率 (3)对任意实数xx2,随机点落在区间(x1,x2J内 的概率为: PIxSXs2=PX<x2)-PIXsx13= F()-F() O XI XI 因此,只要知道了随机变量X的分布函数,它 的统计特性就可以得到全面的描述

概率论 (1) 在分布函数的定义中, X是随机变量, x是参变量. (2) F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率. (3) 对任意实数 x1<x2，随机点落在区间( x1 , x2 ]内 的概率为： P{ x1<X x2  } 因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它 的统计特性就可以得到全面的描述. =P{ X x  2 } - P{ X x  1 } = F(x2 )-F(x1 ) o x1 x2 x (  X XX 请注意 :

←概率论 F(x)=P(X≤x),-∞0<x<∞ OX 分布函数是一个普通的函数, 正是通过它,我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量

概率论 分布函数是一个普通的函数， 正是通过它，我们可以用高等数 学的工具来研究随机变量. F(x) = P(X  x), −   x   x o X Xx

←概率论 例1设随机变量X的分布律为 X012 Pk1/31/61 求X的分布函数F(x) 解 F(x)=P(X≤x) 当x<0时,{X≤x}=的,故F(x)=0 当0<<1时, F()=PXx=P(X=0) 1-3x 亚012

概率论 当 x<0 时，{ X  x } =  ， 故 F(x) =0 例1 设 随机变量 X 的分布律为 当 0 x < 1 时， F(x) = P{X x} = P(X=0) =  3 1  解 F(x) = P(X  x) 0 1 x x 2 ) x  ) X X X k p 0 1 2 1 3 1 6 1 2 求 X 的分布函数 F (x)

←概率论 当12时, F(x)=P区X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1 01亚亚

概率论 当 1 x < 2 时， F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= + =  3 1 6 1 2 1 当 x 2 时， F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1  0 1 x 2  ) xX Xx

←概率论 故 <0 0<x<1 F(x) 注意右连续 1<x<2 x≥2 下面我们从图形上来看一下

概率论 故 注意右连续 下面我们从图形上来看一下.                = 1, 2 , 1 2 2 1 , 0 1 3 1 0, 0 ( ) x x x x F x

←概率论 F(x)的分布函数图 1/2

概率论 1 3 2 1 0 1 2 1 2 1 6 O O O 1 F(x) 的分布函数图 x y

←概率论 一般地 设离散型r."X的分布律是 P{X=xk}=Pk,k=1,2,3, 则其分布函数 F(x)=P(X≤x)=∑Pk x≤x 即F(x)是X取<x的诸值xk的概率之和

概率论 设离散型 r .v X 的分布律是 P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,… F(x) = P(X x) =  x x k k  p 即F(x) 是 X 取  x 的诸值 xk 的概率之和. 一般地 则其分布函数

←概率论 二、分布函数的性质 (1)F(x)在(-∞,+∞)上是一个不减函数, 即对Vx1,x2∈(∞,+∞)且x1<x2,都有 F(x1)≤F(x2); F(x2)-F(x1)=P{x1<X≤x2}≥0 O X X3

概率论 二、分布函数的性质 (1) F(x) 在 (− ,+) 上是一个不减函数 , ( ) ( ) ( ); , , , 1 2 1 2 1 2 F x F x x x x x  即 对   −  +  且  都 有 F x F x ( 2 1 ) − = ( ) o x1 x2 x (  XX P x X x  1 2    0 X X