哈尔滨理工大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件）第一章 概率论的基本概念（1.6）独立性

←概率论 第六节独立性 两个事件的独立性 多个事件的独立性 今独立性的概念在计算概率中的应用 小结布置作业

概率论 第六节 独立性 两个事件的独立性 多个事件的独立性 独立性的概念在计算概率中的应用 小结 布置作业

←概率论 、两事件的独立性 先看一个例子: 将一颗均匀骰子连掷两次, 设={第二次掷出6点}, B={第一次掷出6点}, 显然 P(|B)=P(4) 这就是说已知事件B发生,并不影响事件A发生的概 率这时称事件A、B独立

概率论 显然 P(A|B)=P(A) 这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概 率,这时称事件A、B独立. 一、两事件的独立性 A={第二次掷出6点}， B={第一次掷出6点}， 先看一个例子： 将一颗均匀骰子连掷两次， 设

←概率论 由乘法公式知,当事件A、B独立时,有 P(AB=P(A)P(B) P(AB)=P(AB)P(B) 用P(AB)=P(4)P(B)刻划独立性比用 P(|B)=P(4) 或 P(B4)=P(B) 更好,它不受P(B>0或P(4)>0的制约

概率论 由乘法公式知，当事件A、B独立时，有 P(AB)=P(A) P(B) 用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用 P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B) 更好,它不受 P(B)>0 或 P(A)>0 的制约. P AB P A B P B ( ) = ( ) ( )

←概率论 两事件独立的定义 若两事件A、B满足 P(AB=P(AP(B) 则称A、B相互独立,简称A、B独立 定理1事件A、B独立的充要条件为 P(A|B)=P(4),P(B)>0 或 P(B|A)=P(B,P(4)>0

概率论 若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B) (1) 则称A、B相互独立，简称A、B独立. 两事件独立的定义 定理1 事件 A、B 独立的充要条件为 ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ), ( ) 0 | , 0 =  =  P B A P B P A P A B P A P B 或

←概率论 证先证必要性设事件A、B独立,由独立定义知 P(AB)=P(A). P(B) 所以当P(B)>0时,P(41B)=P(AB)_P()P(B) Pla PB )P(B) 或者当P(小>0时,P(B4)=P(AB)P(4)P() =P(B) P 再证充分性:设P(4B)=P(4成立,则有 P(AB)=P(AIBP(B)=P(AP(B) 由定义可知,事件AB相互独立

概率论 证 先证必要性.设事件 A、B 独立,由独立定义知 P(AB) = P(A) P(B) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , | P B P AB 所以 当 P B  时 P A B = ( ) ( ) P(B) P A P B = = P(A) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 , | P A P AB 或者 当 P A  时 P B A = ( ) ( ) P(A) P A P B = = P(B) 再证充分性: 设 P(A| B) = P(A)成立 ,则有 P(AB) = P(A| B)P(B) = P(A)P(B) 由定义可知,事件 A、B 相互独立

←概率论 例从一副不含大小王的扑克牌中任取一张, 记A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的} 问事件A、B是否独立? 解由于P(4)=4/52=1/13,P(B)=26/52=1/2, P(AB)=2/52=126 可见, P(AB=P(A)P(B) 故事件A、B独立

概率论 例 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张， 记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的} 可见, P(AB)=P(A)P(B) 由于 P(A)=4/52=1/13, 故 事件A、B独立. 问事件A、B是否独立？ 解 P(AB)=2/52=1/26. P(B)=26/52=1/2

←概率论 前面我们是根据两事件独立的定义作出结论 的,也可以通过计算条件概率去做 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张记 A={抽到},B={抽到的牌是黑色的},则 P(4)=1/13,P(|B)=2/26=1/13 可见P(4)=P(AB,即事件A、B独立 在实际应用中,往往根据问题的实际意义去 判断两事件是否独立

概率论 前面我们是根据两事件独立的定义作出结论 的，也可以通过计算条件概率去做: 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的}, 在实际应用中, 往往根据问题的实际意义去 判断两事件是否独立. 可见 P(A)= P(A|B), 即事件A、B独立. 则 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13

←概率论 在实际应用中往往根据问题的实际意义去判 断两事件是否独立 例如 这 甲、乙两人向同一目标射击,记A={甲命中}, B={乙命中},A与B是否独立? 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率, 故认为A、B独立 (即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率)

概率论 在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判 断两事件是否独立. 由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率， 故认为A、B独立 . 甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？ 例如 （即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）

←概率论 又如:一批产品共n件,从中抽取2件,设 A={第i件是合格品}i1,2 若抽取是有放回的,则A1与A2独立 因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响 若抽取是无放回的,则A1与42不独立 因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响

概率论 一批产品共n件，从中抽取2件，设 Ai={第i件是合格品} i=1,2 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立. 因为第二次抽取的结果受到第一次 抽取的影响. 又如： 因为第二次抽取的结果 不受第一次抽取的影响. 若抽取是无放回的，则A1与A2不独立

←概率论 请问:如图的两个事件是独立的吗? 我们来计算:P4B)=0 而P(4)≠0,P(B)0 A B 即P(AB)≠P(A)P(B) 故A、B不独立 即若A、B互斥,且P(4)>0,P(B)>0,则A与B不独立 反之,若A与B独立,且P(4)>0,P(B)>0,则A、B不互 斥

概率论 请问：如图的两个事件是独立的吗？ A B 即 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0,则A与B不独立. 反之，若A与B独立，且P(A)>0,P(B)>0,则A 、B不互 斥. 而P(A) ≠0, P(B) ≠0 故 A、B不独立 我们来计算： P(AB)=0 即 P(AB) ≠ P(A)P(B)