内蒙古科技大学：《材料力学》课程PPT教学课件（材料、成型、矿物）第6章 弯曲变形

材料力学第六章弯曲变形

第六章弯曲变形$ 6-1概述$6-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分$6-3求梁的挠度与转角的共轭梁法$6-4按叠加原理求梁的挠度与转角$6-5梁的刚度校核$6-6梁内的弯曲应变能$6-7简单超静定梁的求解方法$6-8梁内的弯曲应变能

§6–1 概述 §6–2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 §6–3 求梁的挠度与转角的共轭梁法 §6–4 按叠加原理求梁的挠度与转角 §6–5 梁的刚度校核 第六章 弯曲变形 §6–6 梁内的弯曲应变能 §6–7 简单超静定梁的求解方法 §6–8 梁内的弯曲应变能

弯曲变形S6-1概述桥式吊染在自重及重量作用下发生弯曲变形研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算研究目的：①对梁作刚度校核；②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）福

§6－１ 概 述 研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）

弯曲变形度量梁变形的两个基本位移量1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。与 f同向为正，反之为负。2.转角：横截面绕其中性轴转t动的角度。用①表示，顺时针转动为正，反之为负。二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。其方程为：v=f (x)小变形df三、转角与挠曲线的关系：tgo=0=f'(1)Ddx

1.挠度：横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v表示。 与 f 同向为正，反之为负。 2.转角：横截面绕其中性轴转 动的角度。用 表示，顺时 针转动为正，反之为负。 二、挠曲线：变形后，轴线变为光滑曲线，该曲线称为挠曲线。 其方程为： v =f (x) 三、转角与挠曲线的关系： 一、度量梁变形的两个基本位移量 (1) d d tg f x f  =   =  小变形 P x v C  C1 f

弯曲变形S 6-2梁的挠曲线近似微分方程及其积分挠曲线近似微分方程AM.(x)EI.pxM>0小变形1f"(x)+± f"(x)f"(x)0f式（2）就是挠曲线近似微分方程

§6-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 z z EI 1 M (x) =  一、挠曲线近似微分方程 z z EI M x f x ( )  ( ) =  式（2）就是挠曲线近似微分方程。 EI M x f x ( )   ( ) = − . （2） ( ) (1 ) 1 ( ) 2 3 2 f x f f x    +   =   小变形 f x M>0 f (x)  0 f x M<0 f (x)  0

弯曲变形对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式EIf"(x)= -M(x)一、求挠曲线方程（弹性曲线）1.微分方程的积分EIf'(x) = I(-M(x)dx + CiEIf"(x)=-M(x)EIf(x) = [(f(-M(x)dx)dx +Cjx+C,2.位移边界条件DBADA

EIf (x) = −M (x) 对于等截面直梁，挠曲线近似微分方程可写成如下形式： 二、求挠曲线方程（弹性曲线） EIf (x) = −M (x) d 1 EIf (x) = (−M (x)) x +C  d 1 2 EIf (x) = ( (−M (x))dx) x +C x +C   1.微分方程的积分 2.位移边界条件 P A C B P D

弯曲变形0支点位移条件：f,=0 0,=0f=0 f:=0或写成fc奎 =fc右②连续条件：fc-- f.0c- = 0c或写成Oc左 =θc右③光滑条件：讨论：①适用于小变形情况下，线弹性材料，、细长构件的平面弯曲1②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条件）确定。④优点：使用范围广，直接求出较精确；缺点：计算较繁

讨论： ①适用于小变形情况下、线弹性材料、细长构件的平面弯曲。 ②可应用于求解承受各种载荷的等截面或变截面梁的位移。 ③积分常数由挠曲线变形的几何相容条件（边界条件、连续条 件）确定。 ④优点：使用范围广，直接求出较精确； 缺点：计算较繁。 支点位移条件： 连续条件： 光滑条件： f A = 0 f B = 0 f D = 0  D = 0 − = + C C f f − = + C C   或写成 左 右 C C  = 或写成 左 右 C C f = f

弯曲变形例1求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。P解:Lx①建立坐标系并写出弯矩方程M(x)= P(x- L)T②写出微分方程的积分并积分③应用位移边界条件求积分常数EIf"=-M(x) = P(L- x)EIf(0)- I PL +C, -06 EIf'--↓ P(L-) +c,EI0(0) - Elf'(0) --↓ PL +C, - 022.C-↓ PL:C,--IPLElf -I P(L-x) +Cx+C,26

例1 求下列各等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。 建立坐标系并写出弯矩方程 M (x) = P(x − L) 写出微分方程的积分并积分 应用位移边界条件求积分常数 EIf  = −M (x) = P(L − x) 1 2 ( ) 2 1 EIf  = − P L − x +C 1 2 3 ( ) 6 1 EIf = P L − x +C x +C 0 6 1 (0) 2 3 EIf = PL +C = 0 2 1 (0) (0) 1 2 EI = EIf  = − PL +C = 3 2 2 1 6 1 ; 2 1 C = PL C = − PL 解： P L x f

弯曲变形PX+④写出弹性曲线方程并画出曲线P[L-x) +3Fx-1]f(α) - -6F1③最大挠度及最大转角PL?PLfrx = f(L)=0mx = 0(L) -2EI3EI

写出弹性曲线方程并画出曲线   3 2 3 ( ) 3 6 ( ) L x L x L EI P f x = − + − EI PL f f L 3 ( ) 3 max = = EI PL L 2 ( ) 2  max = = 最大挠度及最大转角 x f P L

弯曲变形解：O建立坐标系并写出弯矩方程[P(x-a)(0<x≤a)M(x) -0X(a≤x<≤L)7②写出微分方程的积分并积分P(a-x)(0≤x≤a)Elf"0(a≤x≤L)1[ P(α- x) +C+C,P(a-x) +CEIf = EIf'-6(D)Dx+ D

解：建立坐标系并写出弯矩方程      −   = 0 ( ) ( ) (0 ) ( ) a x L P x a x a M x 写出微分方程的积分并积分      − − +  = 1 1 2 ( ) 2 1 D P a x C EIf      + − + + = 1 2 1 2 3 ( ) 6 1 D x D P a x C x C EIf      −    = 0 ( ) ( ) (0 ) a x L P a x x a EIf x f P L a