内蒙古科技大学：《材料力学》课程PPT教学课件（土木类）附录——截面的几何性质

附录I 截面的几何性质 §I-1截面的静矩和形心位置 y 4 设任意形状截面如图所示。 dA C 1.静矩（或一次矩） y 1a S,=Ixda Si[yda 0 x (常用单位：m3或mm3。值：可为正、负或0。)X 2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得） x Sxda Syda x= y= A A

附录 截面的几何性质 § -1 截面的静矩和形心位置 设任意形状截面如图所示。 S x A S y A A x A y d d   = = 1. 静矩（或一次矩） (常用单位： m3 或mm3 。值：可为正、负或 0 。） 2.形心坐标公式（可由均质等厚薄板的重心坐标而得） A y A y A x A x A A = = d d O x dA y y x C x y

-JdA(xdAxAA3.静矩与形心坐标的关系S,=AxS,=Ay结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。4.组合截面的静矩由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和：S,=ZAx,S,-ZAy（A,和xi,y,分别为第i个简单图形的面积及其形心坐标）

A y A y A x A x A A = = d d 3. 静矩与形心坐标的关系 Sy = A x Sx = A y 结论：截面对形心轴的静矩恒为0，反之，亦然。 4. 组合截面的静矩 由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应 等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和: =  =  = = n i x i i n i y i i S A x S A y 1 1 (Ai和xi , yi 分别为第i个简单图形的面积及其形心坐标）

5.组合截面的形心坐标公式将S,=ZAxS,-ZAy,i=1代入 S,=AxS,=Ay解得组合截面的形心坐标公式为：ZA.X,ZA.yi=li-1x=V=2AZAi-1i-1（注：被“减去”部分图形的面积应代入负值）

5. 组合截面的形心坐标公式 Sy = A x Sx = A y =  =  = = n i x i i n i y i i S A x S A y 1 1 将 代入 解得组合截面的形心坐标公式为：   =   = = = = = n i i n i i i n i i n i i i A A y y A A x x 1 1 1 1 （注：被“减去”部分图形的面积应代入负值）

例I-1试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x轴的静矩。b解：取平行于x轴的狭长条，易求 b(y)=(h-y)h因此d4-(h-)dy所以对x轴的静矩为hbh?S.=L,yd A-"b(h-y)ydy=6

例 I-1 试计算图示三角形截面对于与其底边重合的x 轴的静矩。 解： 取平行于x轴的狭长条， ( ) (h y) h b 易求 b y = − h y y h b 因此 d A = ( − )d 所以对x轴的静矩为 6 d ( ) d 2 0 bh h y y y h b S y A h A x = = − =   O x y b ( y ) y d y h b

例I-2试计算图示截面形心C的位置。解：将截面分为1、2两个矩形。建立坐标系如图示。各矩形的面积和形心坐标如下：矩形IA, =10×120 =1200mm20c,x)101205mm60mmXI一yi22A, = 10×70 = 700mm2矩形Ⅱ701045mmx2 = 10 +5mmy222

例I-2 试计算图示截面形心C的位置。 解：将截面分为1、2两个矩形。 建立坐标系如图示。 各矩形的面积和形心坐标如下： 60mm 2 120 5mm 2 10 10 120 1200mm 1 1 2 1 = = = = =  = x y A 5mm 2 10 45mm 2 70 10 10 70 700mm 2 2 2 2 = + = = = =  = x y A O x y y1 120 10 x x 80 10 y C ( y , x ) Ⅰ Ⅱ Ⅱ Ⅰ Ⅱ 矩形I 矩形II

代入组合截面的形心坐标公式三AXZA.J.i-1i-1一人2A41i-1解得：x ~ 20mmy~ 40mm

代入组合截面的形心坐标公式   =   = = = = = 2 1 2 1 2 1 2 1 i i i i i i i i i i A A y y A A x x 解得： x  20mm y  40mm

SI-2极惯性矩·惯性矩·惯性积设任意形状截面如图所示y1.极惯性矩（或截面二次极矩）I,=J,p'dA2.惯性矩（或截面二次轴矩）I,=LxdAI,=ydA（为正值，单位m或mm4)由于 2=+x所以 I,=[,p'dA=[,(y +x) dA=I,+Iy（即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。）

§ I－2 极惯性矩 ·惯性矩 ·惯性积 设任意形状截面如图所示。 1.极惯性矩（或截面二次极矩） I A A d 2 p  =  2.惯性矩（或截面二次轴矩） I x A I y A A x A y d d 2 2   = = （为正值，单位m4 或 mm4) 2 2 2 由于  = y + x 所以 I A y x A I x I y A A =  = + = +   d ( ) d 2 2 2 p （即截面对一点的极惯性矩，等于截面对以该点为原 点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和。） O x y y x dA

y3.惯性积I y=[ xyd A（其值可为正、负或0，单位:m或mml)结论：O截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0。4.惯性半径医医iv=A（单位m或mm）

3. 惯性积 I xy A A xy d  = （其值可为正、负或0， 单位:m4 或 mm4 ) 截面对于包含对称轴在内的一对正交轴的惯性积为0。 结论： 4. 惯性半径 A I i A I i x x y y = = （单位m 或 mm） O x y y x dA

例I-3试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心轴）x和的惯性矩。解：取平行于x轴的狭长条，1n则 dA-b dybh3I,=[,y'd A-[B,by? d y122hb3金同理I,=12(a)

例I-3 试计算图a所示矩形截面对于其对称轴（即形心 轴）x和y的惯性矩。 解：取平行于x轴的狭长条， 则 dA=b dy 12 d d 3 2 2 2 2 bh I y A by y h h A x = = =  − 同理 12 3 hb I y = y h C x d y y b (a)

若载面是高度为h的平行四边形（图b），则其对形心轴x的惯性矩同样为bh312(b)

若截面是高度为h的平行 四边形（图b），则其对形心 轴x 的惯性矩同样为 12 3 bh I x = h x y b (b) C